Matemáticas 2º Bachillerato CS Tema 13 DISTRIBUCIÓN NORMAL MATEMÁTICAS A. CS II @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA TEMA 13.1 * 2º B CS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONTINUA Ya sabemos una clasificación de las variables estadísticas en discretas y continuas, atendiendo al conjunto de valores que podían tomar. Ejemplos de variable discreta es el número de hijos de una familia, la edad, en semanas, a que comienza a andar un niño o el número de respuestas falladas en un test. Ejemplos de variables continuas son: las estaturas y pesos de los individuos, los tiempos de espera de un autobús, la duración de un tipo de pilas, etc. Si los valores de la variable son muy numerosos y dispersos, éstos han de agruparse en intervalos a fin de obtener frecuencias apreciables. Estos intervalos se denominan ­clases. Consideremos la variable continua Xi que mide la concentración (mg/l) de disolvente en 100 muestras de agua fluvial. Los resultados se dan en la tabla , donde la primea columna indica las clases y la segunda columna las frecuencias relativas: @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

EJEMPLO de DISTRIBUCIÓN de PROBABILIDAD CONTINUA Consideremos la variable continua Xi que mide la concentración (mg/l) de disolvente en 100 muestras de agua fluvial. Los resultados se dan en la tabla , donde la primea columna indica las clases y la segunda columna las frecuencias relativas: Xi fr [0,10) [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) 0,25 0,30 0,15 0,10 0,05 Σ =1 10 20 30 40 50 60 mg/l @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS … Ejemplo Incrementando el número de muestras recogidas a 500, 1.000, 2.000, ...,1.000.000, en lugar de las 100 que tenemos; a la vez que reducimos la longitud de los intervalos de clase, (0, 1) , (0, 0’1) , (0, 0’01), … en lugar de (0, 10) que tenemos , se llega a histogramas cuyos lados superiores forman una poligonal que cada vez es menos irregular. Las frecuencias relativas de las clases se aproximarían a las probabilidades respectivas. Idealmente se llegaría a una línea poligonal superior curva­, bajo la cual el área limitada es la unidad.. La curva así obtenida nos permitirá calcular probabilidades de la variable continua Xi en cualquier entorno. Esta curva se llama FUNCIÓN DE DENSIDAD. Calcular probabilidades es hallar el área comprendida entre la función de densidad y el eje Xi , entre dos valores de xi @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS FUNCIÓN DE DENSIDAD En color rojo se aprecia la línea quebrada o Función de Distribución de una variable continua. En color azul se ha superpuesto la Función de densidad en que se convierte al aumentar notablemente el número de intervalos o clases. 0 10 20 30 40 50 60 mg/l @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS a x1 x2 f (x) > 0 b Para que f(x) sea una función de densidad debe cumplir las siguientes condiciones: 1.- f(x) ≥ 0, para todo valor del intervalo [a, b] donde la variable aleatoria tiene su campo de definición. 2.- El área limitada por la curva f(x), entre los extremos a y b y el eje de abscisas, es la unidad. 3.- Las áreas determinadas por f(x) en cualquier intervalo [x1, x2] incluido en [a, b] es la probabilidad de que la variable continua Xi esté en el intervalo [x1, x2] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS El área que nos interese se calculará: Por el cálculo integral. Ocasionalmente por métodos geométricos elementales. O mediante tablas ya elaboradas para este fin. Nota: Todas las probabilidades son áreas. Cuando la función de densidad sea sencilla, entonces P(X=xi) = f(x). Pero si no es así, entonces: P(X=xi)=P[(xi-0,5) ≤ x ≤ (xi+0,5)] @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN Dada una variable aleatoria continua X, su función de distribución es la aplicación que a cada valor x de la variable le asigna la probabilidad de que esta tome valores menores o iguales que x. F(x) = P(X ≤ x) Si la función de densidad f(x) tomas valores distintos de cero en el intervalo [a , b], entonces la función de distribución asociada es: 0 si x < a x F(x) = ∫ f(x) dx si a ≤ x < b 1 si b ≤ x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS Propiedades La función de distribución de una variable aleatoria continua X, cumple las siguientes propiedades: 1.- Es monótona creciente. 2.- F(x1) – F(xo) = P(xo ≤ X < x1) 3.- F´(x) = f(x) EJEMPLO Función de densidad  Función de distribución 0 si x < 0 0 si x < 0 x f(x) = x/2 si 0 ≤ x < 2 F(x) = ∫ (x/2) dx si 0 ≤ x < 2 0 si x ≥ 2 1 si b ≤ x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS La función de densidad debe cumplir: 1.- f(x) ≥ 0 para todo valor del intervalo [0 , 2]. 2.- El área limitada por f(x) = x/2 , x=0, x=2 y el eje de abscisas debe ser la unidad. (Al formar f(x) un triángulo rectángulo de base 2 y altura 1, vemos que el área del mismo es la unidad). 3.- Las áreas determinadas por f(x) en cualquier intervalo [x1, x2] incluido en [a, b] es la probabilidad de que la variable continua Xi esté en el intervalo [x1, x2] GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD 1 f(x) = x / 2 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS

Matemáticas 2º Bachillerato CS La función de distribución será: 0 si x < 0 x F(x) = ∫ (x/2) dx = (1/2). [x2 / 2] = x2 / 4 si 0 ≤ x < 2 1 si x ≥ 2 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN F(x) = 1 1 F(x) = x2 / 4 F(x) = 0 0 1 2 x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 2º Bachillerato CS