PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES Tema IV Transformada Z: Transformada Z - III Sistemas Electrónicos, EPSG

Contenido de la Sesión Análisis en el dominio transformado: Ecuaciones en diferencia Función de transferencia Sistemas LTI: Condición de estabilidad Condición de causalidad Sistemas inversos

Ecuaciones en Diferencia Sistemas LTI para los cuales la relación entre la entrada y la salida se expresa por una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes: Se analizan mejor en el dominio de la TZ...

Ecuaciones ( continuación...) Aplicando la TZ y haciendo uso de las propiedades desplazamiento temporal y linealidad:

Ecuaciones ( continuación...) Expresión algebraica de la función de transferencia

Ecuaciones ( continuación...) La expresión algebraica de H(z) como cociente de polinomios en z y z-1 resulta más conveniente expresarla en forma factorizada:

Ecuaciones ( continuación...) Cada uno de los factores (1-ckz-1) del numerador contribuye con un cero en z=ck y con un polo en z=0 Cada uno de los factores (1-dkz-1) del denominador contribuye con un cero en z=0 y con un polo en z=dk Resultará inmediato pasar de la H(z) a la ecuación en diferencias y viceversa

Ejemplo Ecuaciones Ejemplo 5.2 pp. 247 Oppenheim Sistema de segundo orden

Estabilidad y Causalidad Si un sistema es LTI se cumplirá que Y(z)=H(z)X(z), resultando inmediato el poder pasar de la H(z) a la ecuación en diferencias y viceversa Es necesario establecer condiciones adicionales de estabilidad y causalidad

Estabilidad (continuación...) Suponemos que el sistema es causal: h[n] deberá ser una secuencia limitada por la izquierda ROC de H(z) deberá ser el exterior del polo más externo Ejemplo 3.1 pp. 99 Oppenheim Propiedad 5 de la ROC pp. 106 Oppenheim

Estabilidad (continuación...) Suponemos que el sistema es estable: h[n] deberá ser absolutamente sumable Para |z|=1, la ROC de H(z) deberá incluir la circunferencia unidad

Ejemplo Estabilidad Ejemplo 5.3 pp. 248 Oppenheim Determinación de la ROC Fig. 5.4

Estabilidad (continuación...) Sobre la estabilidad y causalidad: No son condiciones necesariamente compatibles Para que un sistema LTI sea a la vez estable y causal, la ROC de H(z) deberá ser el exterior del polo más externo e incluir la circunferencia unidad, lo que requiere que todos los polos estén en el interior de la circunferencia unidad

Sistemas Inversos Dado un sistema LTI con una H(z), se define el sistema LTI inverso como un sistema con Hi(z) tal que si se coloca en cascada con H(z), la función efectiva de transferencia que resulta es la unidad:

Sistemas (continuación...) Generador de ecos N=1000; % Retardo alfa=0.5; % Factor de atenuación % Sistema con ecos b=[1 zeros(1,999) alfa]; % Filtrado ve=filter(b,1,voz); sound(ve,fs)% Reproducción con ecos Generador de ecos en MATLAB...

Sistemas (continuación...) Generador de ecos H(f) función de transferencia...

Sistemas (continuación...) Sistema inverso al generador de ecos Hi(f) función de transferencia inversa...

Sistemas (continuación...) Sistema inverso al generador de ecos % Sistema a=[1 zeros(1,999) alfa]; % Señal sin ecos y=filter(1,a,ve); sound(y,fs) % Reproducción sin ecos Sistema inverso al generador de ecos en MATLAB...

Sistemas (continuación...) No todos los sistema tienen inverso: El filtro pasabajo ideal no tiene, dado que no hay forma de recuperar componentes de frecuencia por encima de la frecuencia de corte del mismo Muchos sistemas tienen inverso, siendo útiles aquellos con H(z) racional...

Sistemas (continuación...) Ceros en z=ck y polos en z=dk Adición de posibles ceros y/o polos en z=0 y z=

Sistemas (continuación...) Los polos de Hi(z) son los ceros de H(z) y viceversa

Sistemas (continuación...) Para que g[n]=h[n]*hi[n]=[n] tenga sentido, las ROCs de H(z) y Hi(z) deben solaparse Si H(z) es causal, su ROC será: Cualquier ROC de Hi(z) que se solape será válida

Ejemplo Sistemas Inversos Ejemplo 5.4 pp. 250 Oppenheim Sistema inverso de un sistema de primer orden Ejemplo 5.5 pp. 251 Sistema inverso de un sistema con un cero en la región de convergencia

Sistemas (continuación...) Si H(z) es un sistema causal con ceros en ck, k=1,..., M, el sistema inverso será causal si y sólo si asociamos a Hi(z) la región de convergencia:

Sistemas (continuación...) Si a la vez se desea que el sistema inverso sea estable, entonces la región de convergencia de Hi(z) deberá contener a la circunferencia unidad:

Sistemas (continuación...) Un sistema LTI que es causal y estable tendrá un sistema inverso también causal y estable si y sólo si los ceros y los polos de H(z) están en el interior de la circunferencia unidad: Estos sistemas LTI se denominan sistemas de fase mínima