6 Trigonometría LECTURA INICIAL ESQUEMA INTERNET ACTIVIDAD La primera civilización en medir el paso del tiempo, utilizando el ángulo solar y la longitud de la sombra que proyecta una vara clavada en el suelo, fue la civilización china.

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. SIGUIENTE

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa SIGUIENTE Cateto opuesto Cateto contiguo

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa SIGUIENTE Cateto opuesto Cateto contiguo

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa SIGUIENTE Cateto opuesto Cateto contiguo

Razones trigonométricas de un ángulo agudo Llamamos razones trigonométricas de un ángulo a las razones obtenidas entre los lados de cualquier triángulo rectángulo que tenga un ángulo de grados. Hipotenusa Cateto opuesto Cateto contiguo

Razones trigonométricas del ángulo agudo Ejemplo: Calcular las razones trigonométricas de los ángulos 8 , 10 hipotenusa contiguo cateto os   c SIGUIENTE

Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llano Ángulo recto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º CENTESIMAL 400 200 100 RADIANES 2  /2 SIGUIENTE

Relaciones entre las razones trigonométricas del ángulo agudo Si en el triángulo rectángulo ABC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: C Si dividimos la expresión anterior entre a2: B Expresándolo de otra forma: A a b sen   O lo que es lo mismo: SIGUIENTE

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Sea ABC un triángulo equilátero. Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º. Trazamos una altura h. A B Podemos calcular h en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras h SIGUIENTE

Las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º son: Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Las razones trigonométricas de los ángulos de 30º y 60º son: Observa que: sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º SIGUIENTE

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º B Sea ABCD un cuadrado. Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º. Trazamos la diagonal d. D C Podemos calcular d en función de l, aplicando el teorema de Pitágoras SIGUIENTE

Razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º Las razones trigonométricas del ángulo de 45º son: 2 1 º 45 cos  l Observa que: sen 45º = cos 45º

A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica. Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas. Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice estará en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda. X Y O a 1 A esta circunferencia la llamaremos circunferencia goniométrica. SIGUIENTE

_ + + + _ _ _ + Circunferencia goniométrica X Y O 1 cos    1 -1 1 b El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 -1 1 b B sen  a A sen  1 cos    d D g C cos  cos  SIGNO DEL SENO _ cos  + + SIGNO DEL COSENO cos  + sen  sen  _ _ _ + SIGUIENTE

Razones trigonométricas Las razones trigonométricas que coinciden con los ejes coordenados: 0º, 90º, 180º y 270º vienen dadas en la siguiente tabla: ÁNGULO 0º 90º 180º 270º SENO 1 1 COSENO TANGENTE No existe SIGUIENTE

Reducción de ángulos al primer cuadrante Si un ángulo β está en el segundo cuadrante se puede poner como 180º α, siendo α un ángulo del primer cuadrante.   sen    cos - os  c   tg - g  t        60º tg - 120º cos sen º 120 180 SIGUIENTE

Reducción de ángulos al primer cuadrante Si un ángulo β está en el tercer cuadrante se puede poner como 180º +α, siendo α un ángulo del primer cuadrante.   sen -    cos - os  c   tg g  t        30º tg 210º cos - sen º 10 2 180 210 SIGUIENTE

Reducción de ángulos al primer cuadrante Si un ángulo β está en el cuarto cuadrante se puede poner como 360º α, siendo α un ángulo del primer cuadrante   sen -    cos os  c   tg - g  t        45º tg - 315º cos sen º 15 3 360 315 SIGUIENTE

El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). SIGUIENTE

El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual amplitud pero que se mide en sentido inverso, α. SIGUIENTE

Ángulos complementarios, suplementarios y opuestos El ángulo complementario de un ángulo α mide (90º α). El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igual amplitud pero que se mide en sentido inverso, α. El ángulo suplementario de un ángulo α mide (180º α).

Aplicaciones m 95 , 36 48 18 43 55 d   distancia Calculamos la distancia entre las embarcaciones. a 32 60º cos  16m  a 60º a 32 64 d 60º en 1  s 43m , 55 d 1  d1 b 32 30º cos  95m , 36  b b 30º 32 95 , 36 d 30º en 2  s 48m , 18 2  d d2 distancia m 95 , 36 48 18 43 55 d 2 1   SIGUIENTE