racionalización
Racionalización.- Es el proceso que consiste en transformar el denominador irracional de una fracción en otro que sea racional. Factor Racionalizante (FR) Es aquella expresión irracional que al multiplicar por una cierta expresión irracional dada la transforma en racional. Propiedad Para racionalizar una fracción bastará con multiplicar sus términos por el factor racionalizante del denominador.
Casos de racionalización I. Racionalización de expresiones Monomias: En este caso el factor racionalizante es homogéneo con la expresión para racionalizar, debe cumplirse que luego de la multiplicación los exponentes del radicando deben ser iguales al índice o al menor de sus múltiplos. Ejemplo: racionalizar el denominador 𝑁 7 𝑥 4 𝑦 12 . 7 𝑥 3 𝑦 2 7 𝑥 3 𝑦 2 = 𝑁 7 𝑥 3 𝑦 2 𝑥 𝑦 2 F.R.
𝑁 4 𝑥 − 𝑦 . 4 𝑥 + 𝑦 4 𝑥 + 𝑦 = 𝑁( 4 𝑥 − 𝑦 ) 𝑥 −𝑦 II. Racionalización de suma o resta de radicales con índice 2 o sus potencias: En este caso el factor racionalizante se obtiene utilizando la diferencia de cuadrados. Recordemos: Ejemplo: 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 =𝑎−𝑏 𝑁 4 𝑥 − 𝑦 . 4 𝑥 + 𝑦 4 𝑥 + 𝑦 = 𝑁( 4 𝑥 − 𝑦 ) 𝑥 −𝑦 F.R.
III. Racionalización de suma o resta de radicales con índice 3 o sus potencias: En este caso el F.R. se obtiene utilizando la suma o diferencia de cubos. Recordemos: Ejemplo: 3 𝑎 ± 3 𝑏 3 𝑎 2 ∓ 3 𝑎𝑏 + 3 𝑏 2 =a±𝑏 𝑁 𝑥− 3 𝑦 . 𝑥 2 +𝑥 3 𝑦 + 3 𝑦 2 𝑥 2 +𝑥 3 𝑦 + 3 𝑦 2 = 𝑁( 𝑥 2 +𝑥 3 𝑦 + 3 𝑦 2 ) 𝑥 3 −𝑦 F.R.
IV. Racionalización de radicales de la forma: 𝑛 𝑎 ± 𝑛 𝑏 En este caso, el F.R. se obtiene utilizando cocientes notables, de la siguiente manera: n par o impar 𝑛 𝑎 − 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛−1 + 𝑛 𝑎 𝑛−2 𝑏 + 𝑛 𝑎 𝑛−3 𝑏 2 +…+ 𝑛 𝑏 𝑛−1 =𝑎−𝑏
n par o impar 𝑛 𝑎 + 𝑛 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛−1 − 𝑛 𝑎 𝑛−2 𝑏 + 𝑛 𝑎 𝑛−3 𝑏 2 +…+ 𝑛 𝑏 𝑛−1 =𝑎+𝑏 Ejemplo: 𝑁 7 𝑥 − 7 𝑦 . 7 𝑥 6 + 7 𝑥 5 𝑦 + 7 𝑥 4 𝑦 2 +…+ 7 𝑦 6 7 𝑥 6 + 7 𝑥 5 𝑦 + 7 𝑥 4 𝑦 2 +…+ 7 𝑦 6 = 𝑁 𝑥−𝑦
Ejercicios 2𝑎 2𝑎𝑥 3𝑥 2 2 3 5 4 1 3 5 1 3 3 1 3 −1 2 2 5−2 6 2 −3 2 +3