Modelos matematicos de sistemas continuos

Contenido Introduccion Descripcion de sistemas continuos Ejemplo de modelado y simulación Descripcion de entrada-salida de sistemas continuos Simulacion de modelos continuos

introduccion

Modelos matemáticos Tipicamente representan modelos simplificados Se expresan mediante ecuaciones matematicas Permiten el trabajo cuantitativo analizando datos formulando leyes Tipicamente representan modelos simplificados Modelos que pueden producir resultados falsos Modelos simbólicos o matemáticos: Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma decifras, símbolos y matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente y que luego se registran como modelos simbólicos. Un tipo de modelo simbólico o matemático que se usa comúnmente en la IO es una ecuación. Una ecuación es concisa, precisa y fácil de comprender. Sus símbolos no sólo son mucho más fáciles de manipular que las palabras, sino que se escriben más rapidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las computadoras.

Tipos de sistemas estocástico determinístico estático dinámico tiempo-discreto tiempo-continuo simulación de Montecarlo Estático. Estado del sistema como un punto en el tiempo Dinámico. Estado del sistema como cambios en el tiempo Tiempo-continuo. Los estados del sistema cambian en cualquier momento. Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo. Determinístico. Entradas fijas producen salidas fijas Estocástico. Uno o más parámetros aleatorios. Entradas fijas produce salidas diferentes Tipos de modelos matemáticos: La siguiente separación en categorías de estos modelos, nos dará una base lógica para clasificar los modelos básicos que se utilizan en la bibliografía de la IO, tal relación no es completa en modo alguno, pero la explicación y operación de cada uno proporciona una mejor comprensión de las diferencias esencilaes entre los modelosde la IO. Cuantitativos y cualitativos: Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar constantes y variables (en gran parte números), llamamos a esto un modelo cuantitativo. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores, de ecuaciones o desigualdades que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de modelos matemáticos. Los problemas de IO que se ocupan de las cualidades o propiedades de los componentes se llaman modelos cualitativos. La mayor parte del pensamiento relacionado con los problemas de negocios comienza con los modelos cualitativos y llega gradualmente hasta un punto donde pueden usarse modelos cuantitativos. Esto no significa que la metodología de la IO pueda cuantificar situaciones cualitativas. Hay muchos problemas que no pueden cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas y relaciones con todas sus peculiaridades y excepciones que son demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional y teoría de decisión, la IO puede hacer que se apliquen al problema ciertas técnicas muy útiles. Estándar y hechos a la medida: Se usan modelos estándar para decribir las técnicas que se han asociado con la IO. Para usar estas técnicas se insertan los números apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta. Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de las diversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo que se ajuste al problema investigado. Muchas veces el personal de IO lee las diferentes publicaciones

Sistemas dinamicos continuos y discretos De tiempo continuo, de tiempo discreto De variables continuas, de variables discretas

Formalismos de modelos matematicos De tiempo continuo, de tiempo discreto De variables continuas, de variables discretas Vars./Time Continuous Discrete [1] DESS (Differential equation System Specification) Partial Differential Equations Ordinary Differential Equations Bond Graphs Modelica Electrical circuits [2] DTSS Difference Equations Finite Element Method Finite Differences Numerical methods (in general, any computing method for the continuous counterparts], like Runge-Kutta, Euler, DASSL and others. [3] DEVS (Discrete Event System Specification) DEVS Formalism Timed Petri Nets Timed Finite State Machines Event Graphs [4] Automata Finite State Machines Finite State Automata Petri Nets Boolean Logic Markov Chains

Modelos DESS En el formalismo DESS (differential equation System Specification model) el modelo matemático de un sistema dinámico es: un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las características dinámicas del sistema. las cuales se obtienen aplicando leyes físicas.

Modelos DESS Modelo mecanico Modelo electrico

Descripcion de sistemas dinamicos continuos

Sistemas dinamicos continuos Normalmente estamos interesados en los sistemas dinamicos continuos: Dinamico: ocurren cambios en el periodo de tiempo de interes Tiempo continuo: los cambios ocurren continuamente Variables continuas: los cambios pueden tomar cualquier valor Deterministico: se asume que es posible modelar el sistema como si fuera completamente conocido

Descripcion interna de sistemas continuos y u x Inputs, u Outputs, y States, x y = S[u] SISO, MIMO Static or dynamic Descripcion en variables de estado

Sistemas lineales Cumplen con dos principios: es decir, Aditividad (superposicion) Homogeneidad (escala) ,

Sistemas lineales e invariantes con el tiempo Una ecuación diferencial lineal es invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente. Estos sistemas se denominan por sus siglas en inglés como sistemas LTI (Linear Time Invariant)

Descripcion de sistemas LTI Matrices constantes Demostrar que el sistema dinamico modelado mediante las matrices ABCD es un sistema lineal

Descripcion en variables de estado de sistemas continuos A n  n B n  m C p  n D p  m Linear systems: Non-linear systems: x n u m y p dx dt = A · x + B · u y = C · x + D · u ; x(t0) = x0 x = State vector u = Input vector y = Output vector n = Number of state variables m = Number of inputs p = Number of outputs State. The smallest set of variables such that the knowledge of these variables at t = t0, together with the knowledge of the input for t  t0, completely determines the system behavior for t  t0. State Variables. The smallest set of variables (not unique) that determines the state of the dynamic system. State Vector. It is composed of the n state variables. State Space. The n-dimensional space whose coordinate axes consist of the x1 axis, the x2 axis, …,the xn axis. dx dt = f(x,u,t) y = g(x,u,t) ; x(t0) = x0

El concepto de estado State: Angle of the pendulum Inverted pendulum Cart Force Wheel Inverted pendulum Free joint State: Angle of the pendulum Angular velocity of the pendulum Cart position Cart velocity

El concepto de vector de estado El espacio de estado es el conjunto de todos los posibles valores del vector de estado El vector de estado es un vector desde el origen del espacio de estados hasta el estado actual del sistema

La trayectoria del estado Por las restricciones impuestas por las ecuaciones que describen al sistema El estado describe una trayectoria en el espacio de estado Es lo que se denomina la trayectoria del estado

Trayectoria del estado Origin of the state space (0, 0, 0) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 State variable 1 (x1) State variable 2 x2 State variable 3 x3 State vectors at different times State trajectory Trayectoria del estado

Respuesta de un sistema lineal  Dado el modelo del sistema, nuestro interes esta en determinar tanto la trayectoria del estado, como la respuesta de entrada-salida del sistema. El calculo de esta respuesta involucra la solucion de una ecuacion diferencial.

Ejemplo: respuesta de un sistema escalar ¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar? Conocido el estado inicial

Respuesta de un sistema escalar ¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar? La solucion involucra un proceso de integracion

Respuesta de un sistema escalar ¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar? La salida es una combinacion (lineal) de los estados Trayectoria del estado

Representacion en bloques de un sistema lineal Ejercicio: Haga un diagrama del sistema lineal descrito por las ecuaciones,

Representacion en bloques Integracion Condicion inicial

Ejemplo de modelado y simulación

Ejemplo de modelado Se propone entonces: Discutir el modelado del amortiguador de un automovil. Proponer un modelo matematico Construir el modelo en Simulink Verificar el comportamiento del modelo

Un modelo matematico del sistema El modelo matemático del sistema puede ser descrito por: M K B x Parametros: m = 0.25, c = 0.5, k = 1

Analisis de las ecuaciones Forma estandar Frecuencia natural Razon de amortig. Gananacia estatica

El modelo en simulink f(t) + input x(t) - output c k El proposito del diagrama de simulation es resolver la ODE del modelo matematico propuesto

Verificacion de los resultados de simulacion El amortiguamiento es menor que uno (0.5) Se espera que el sistema sea sub-amortiguado Se espera sobrepulso La ganancia estatica es uno Se espera que la magnitud de la salida sea igual a la magnitud de la entrada. ¿Los resultados de simulación se ajustan a las expectativas?

Ejercicio Construya el modelo en Simulink. Verifique el modelo. Plantee preguntas sobre el caso Consulte como el Toolbox SimMechanics modela el sistema masa-resorte-amortiguador

Descripcion de entrada-salida de sistemas continuos

Descripcion de entrada-salida de sistemas LTI La relacion entrada/salida de un sistema lineal invariante en el tiempo de dimension finita dinámico, operando sobre señales de tiempo continuo es Una ecuación diferencial ordinaria

Descripcion de entrada-salida de sistemas LTI La relacion entrada/salida de un sistema LTI de dimension finita tambien se da en terminos del operador diferencial y(t) = G(p) u(t) Operador diferencial ¡no confundir con la variable compleja s!

Respuesta de los sistemas LTI La relacion entrada/salida se puede obtener mediante distintas representaciones: La respuesta al impulso La función de transferencia La respuesta de frecuencia g(t) G(s) G(iw)

La función de transferencia La función de transferencia G(s) es la respuesta estacionaria del sistema lineal Y (s)= G(s)U (s) es una función compleja Donde s es la variable de Laplace, y Y(s), U(s) las transformadas de Laplace de la salida y la entrada

La respuesta de frecuencia Es la respuesta estacionaria de un sistema lineal ante una señal de entrada sinusoidal

La respuesta al impulso La relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso g(t) Para condiciones iniciales nulas

Obtencion de la funcion de transferencia a partir de la ODE Considere un sistema lineal invariante en el tiempo, descrito por la siguiente ecuación diferencial donde y(t) es la salida del sistema y u(t) es la entrada del sistema.

Obtencion de la funcion de transferencia a partir de la ODE Para obtener la función de transferencia del sistema: se toma la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación diferencial, considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero

La funcion de transferencia Entonces, la función de transferencia está dada por La funcion de transferencia es un recurso matematico util para representar sistemas lineales, invariantes en el tiempo, con condiciones iniciales nulas

Polos y ceros de la funcion de transferencia Se definen los ceros de G(s) como las raíces del numerador de G(s) y los polos de G(s) como las raíces del denominador ¡Para la representacion en variables de estado de sistemas los polos y ceros no estan definidos!

Equivalencia de las representaciones Laplace Fourier Teorema de Bode Conexión entre la respuesta al impulso, la función de transferencia, y la respuesta en frecuencia

Equivalencia de las representaciones Ejercicio Investigue como Matlab representa un sistema dinámico en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m

Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. http://www.eas.asu.edu/~tsakalis. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham. 2003. Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas. 1999.