SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MATEMÁTICA II SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Prof. Edgardo Di Dio

Es importante que puedas: Expresar ideas y relaciones matemáticas utilizando la terminología y notación apropiadas. Utilizar algoritmos para efectuar operaciones. Saber decidir cuál es el procedimiento más oportuno en cada situación. Analizar conjuntos de datos e informaciones y reconocer y descubrir relaciones.

Saber interpretar correctamente una representación gráfica para expresar un concepto y resaltar las características más relevantes. Decodificar e interpretar el lenguaje simbólico y formal y comprender sus relaciones con el lenguaje natural Verificar conclusiones y realizar inferencias empleando distintas formas de razonamiento Sistematizar y resumir conclusiones de un trabajo realizado e interpretar las ideas matemáticas presentes en él Elaboración correctamente tus representaciones Reflexionar y ofrecer tus resultados

Repasemos lo hecho en la ultima clase 1 2a 2b 3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b Repasemos lo hecho en la ultima clase Teorema de Rouché Frobenius

Lo aprendido Matrices Operaciones con matrices Determinantes Matriz inversa Rango de una matriz Clasificación de los sistemas lineales Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales aplicando la matriz inversa

Ejercicios para Practicar 1a.-María efectuó los días lunes, martes y miércoles, llamadas de varios pulsos en tres localidades diferentes del gran Buenos Aires . El jueves, pensó en cuál de las tres el pulso tenía el menor precio y no pudo recordarlo. Después de pensar, registró : gasto Lunes 11 Martes 17 Miércoles 24 L1 L2 L3 Lunes 1 Martes 2 Miércoles 3 Vamos a formular un modelo matemático para resolver la situación y poder determinar cuanto abonó por pulso en cada localidad X+Y+Z=11 2X+Y+Z=17 MODELO LINEAL 3X+2Y+Z=24 Precio del pulso Localidad 1 x Localidad 2 Y Localidad 3 z Ejercicio Resuelto Glosario Ejercicios para Practicar

Vamos a formular un modelo matemático para resolver la situación y poder determinar cuanto abonó por pulso en cada localidad Llamamos Precio del pulso Localidad 1 x Localidad 2 Y Localidad 3 z L1 L2 L3 Gasto Lunes 1 11 Martes 2 17 Miércoles 3 24 X+Y+Z=11 2X+Y+Z=17 MODELO LINEAL 3X+2Y+Z=24

El sistema queda definido por: A X = B X+Y+Z=11 2X+Y+Z=17 MODELO LINEAL 3X+2Y+Z=24 DEBEMOS HALLAR LA INVERSA DE PARA RESOLVER EL SISTEMA

La inversa de A: Por regla de Sarrus puedes calculamos el determinante de A , det A=1 Procedemos a calcular la matriz inversa Trasponemos y calculamos la adjunta de A ,teniendo en cuenta los menores complementarios Adj A

INVERSA DE A RESOLVEMOS EL SISTEMA: El precio del pulso de la localidad 1 es 6 um , El precio del pulso de la localidad 2 es 1 um y el de la última localidad es de 4 um

Verifiquemos en nuestra computadora

2 a) El teorema de Cramer se aplica en el siguiente razonamiento de manera que en el sistema de ecuaciones ordenado resulta donde la matriz de coeficientes es Las incógnitas conforman la matriz y la columna de términos independientes conforma la matriz Buscamos ahora la inversa de la matriz A Para transformar aplicaremos el método de Gauss Jordan 2 b

Conformamos un esquema con la matriz A a la izquierda y una matriz unidad de igual clase que A al la derecha Luego de sucesivas operaciones elementales en ambas matrices A I I A-1 - 3 - 4 - 2 1 1 2 1 2 b

I = = A-1 2 b

2 b

Conocida A-1 efectuamos el producto La matriz X es De los resultado obtenidos tenemos que Te propongo que verifiques en la consigna que estos resultados son correctos. 2 b

Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas 2 b) La Regla de Cramer es la aplicación generalizada para n incógnitas del método de los determinantes Para resolver ordenamos el sistema y lo clasificamos Sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas conformamos cada uno de los determinantes

Resolvemos y por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Y resolvemos cada uno de los determinantes Aplicando el método del desarrollo por los elementos de una línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Elevamos (-1) a la suma del orden fila y columna del elemento que reemplazamos multiplicamos por el elemento que reemplzamos (0 en el primer caso) y luego por el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna que contiene el elemento “elegido” Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Resolvemos x por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los dos primeros términos y el último son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Resolvemos z por el desarrollo de los elementos de un línea Vamos a desarrollar por los elementos de la tercera fila (porque tendrá dos factores nulos) Los tres primeros términos son factores por 0, por lo que no es necesario operar, sabemos que esos resultados son 0

Verificamos los resultados

Teorema de Rouché Frobenius 5 6 7a 7b Teorema de Rouché Frobenius En un sistema de m ecuaciones con n incógnitas Para operaciones elementales y determinantes ver unidad I Definimos como matriz de coeficientes (A), a la matriz conformada por todos los coeficientes de las variables del sistema, ordenados según el mismo orden del sistema Si a la matriz de coeficientes (A) le agregamos la columna de los resultados del sistema como última columna, tenemos la matriz ampliada (A´)

3a 3b 3c 3d 4a 4b 5 6 7a 7b La matriz A es de clase (m x n) La matriz A´ es de clase m x (n+1) Encontradas las matrices de coeficientes (A) y ampliada (A´), debemos hallar el rango de cada una de ellas (por cualquier método apropiado, ver TP7) El sistema tiene solución si además El sistema es Compatible determinado admite solución única El sistema es Compatible indeterminado admite infinitas soluciones El sistema es Incompatible NO tiene solución

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 3 a) Para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 b 3 c 3 d

El rango de la matriz coeficientes es 3 Y el rango de la matriz ampliada también es 3 el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices Sistema compatible determinado (admite un solo conjunto solución) Te sugerimos que verifiques estos resultados . . . 3 b 3 c 3 d

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas 3 b) Para resolver sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas escribimos el sistema completo y ordenado Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 c 3 d

Este sistema no tiene solución El próximo pivote debe elegirse en la 3º fila 3º columna, pero ese elemento es 0 (no puede ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron Y quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (a menos uno de sus elementos es distinto de 0) pero en la matriz ampliada hay tres filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) Sistema incompatible Este sistema no tiene solución 3 c 3 d

sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas 3 c) Para resolver sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes Y le agregamos la columna de resultados para conformar la matriz ampliada 3 d

Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra ó 4ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron quedan evidenciadas en la matriz de coeficientes dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) y en la matriz ampliada también hay dos filas linealmente independientes (sus elementos son distintos de 0) 3 d

Sistema compatible indeterminado pero Este sistema admite infinitas soluciones Para resolver el sistema “recomponemos” un sistema de ecuaciones con las matrices coeficiente y ampliadas halladas confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones, asignándole valores a z y t, encontramos x e y despejamos x despejamos y x y z t S1 -13 -23 S2 -10 -17 1 1 S3 -8 -16 1 3 d

Este sistema no tiene solución 3 d) Para resolver sistema de tres ecuaciones con cuatro incógnitas Para aplicar las operaciones elementales, conformamos primero la matriz de coeficientes y la matriz ampliada El próximo pivote debe elegirse en la 2da fila 2da, 3ra, 4ta ó 5ta columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote) Significa que las operaciones elementales posibles concluyeron Y queda evidenciada en la matriz de coeficientes una fila linealmente independiente (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) pero en la matriz ampliada hay dos filas linealmente independientes (al menos uno de sus elementos es distinto de 0) Sistema incompatible Este sistema no tiene solución

Sabiendo que el sistema homogéneo será siempre compatible 4 a) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal Solo nos queda analizar si admite soluciones diferentes de la trivial (todas las variables igual a cero) Sabiendo que el sistema homogéneo será siempre compatible sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas Analizaremos en este caso la matriz coeficiente y la ampliada solamente para visualizar mejor el rango de ellas 4 b

Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial El rango de la matriz de coeficientes es 3 Por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre) Este sistema homogéneo admite solamente solución trivial 4 b

las operaciones elementales posibles concluyeron 4 b) Para resolver un sistema homogéneo, trabajamos como si fuera un sistema normal ordenamos el sistema 12 las operaciones elementales posibles concluyeron El próximo pivote debe elegirse en la 3ra fila 3ra columna, pero esos elementos son 0 (no pueden ser pivote)

Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial El rango de la matriz de coeficientes es 2 por ser el sistema homogéneo no nos interesa analizar la matriz ampliada (r(A) = r(A´) siempre) Este sistema homogéneo admite soluciones diferentes de la trivial Este sistema admite infinitas soluciones Recomponemos el sistema de ecuaciones, proponiendo un sistema de ecuaciones equivalente del “nuevo” sistema podemos despejar x en función de z e y en función de z Y confeccionamos una tabla de valores para encontrar diferentes soluciones; asignándole valores a z , encontramos x e y x y z S1 1 -2 1 S2 -1 2 -1 S3

Efectuamos transformaciones elementales por Gauss-Jordan 5) Para determinar, si existen los valores de m  R, tales que el sistema sea : a) compatible determinado, b)Incompatible y c) Compatible indeterminado Efectuamos transformaciones elementales por Gauss-Jordan

Transcribimos el resultado de la última transformación Podemos apreciar claramente que: Si m = 1, el elemento de la 2º fila, 2º columna de la matriz de coeficientes es 0, con ese elemento se hace 0 toda la 2º fila de la matriz de coeficientes Pero m = 1 no hace cero el elemento de la 4º columna (matriz ampliada) y 2º fila Por lo que si m = 1 Sistema incompatible Para cualquier otro valor de m Sistema compatible determinado

Si la cantidad de estudiantes que tiene 6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ? Tengo tres informaciones que relacionan los datos conocidos Si la cantidad de estudiantes que tiene 1) Hay 32 estudiantes cuyas edades son 18, 19 y 20 años multiplicamos cada una de las edades por la cantidad de estudiantes que tienen esas edades y sumamos los productos 18 años es x 2) El promedio de sus edades es 18,5. 19 años es y y dividimos por el total de estudiantes para hallar el promedio de las edades 20 años es z 3) la cantidad de personas de 18 años es 6 mas que el número combinado de las de 19 y 20 años Con las tres ecuaciones planteadas, puedo conformar un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que ordenado queda :

Te sugerimos que verifiques estos resultados . . . Las matrices coeficientes y ampliada equivalentes luego de las transformaciones elementales resultan: El rango de la matriz de coeficientes es 3 El rango de la matriz ampliada también es 3 el número de incógnitas es igual al rango de ambas matrices Sistema compatible determinado (admite un solo conjunto solución) Resolvemos el sistema de ecuaciones, recomponiendo un sistema equivalente con la matriz de coeficientes y ampliada encontradas luego de las transformaciones elementales Te sugerimos que verifiques estos resultados . . .

Si los rangos no son iguales 7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ? Al analizar los rangos de la matriz de coeficientes y de la matriz amplidas de cualquier sistema, en principio, pueden suceder dos cosas : que sean iguales que no sean iguales Si los rangos no son iguales El sistema es incompatible no tiene solución Si los rangos son iguales El sistema es compatible indeterminado tiene múltiples soluciones 7 b

7 b) Si el sistema tiene menos ecuaciones que incógnitas y además es homogéneo Por ser homogéneo, sabemos que los rangos no pueden ser diferentes, luego los rangos son iguales Por la condición de la consigna, al ser el número de ecuaciones menor que el número de incógnitas, necesariamente el rango es menor que el número de incógnitas Entonces el sistema es compatible determinado, al ser homogéneo, admite múltiples soluciones diferentes de la trivial

Trazamos primero un par de ejes coordenados 8 a) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y > x como si se tratar de y = x Pero con trazos punteados porque no están incluidos los valores de y = x entre los que buscamos sino los de y > x sombreamos el semiplano que verifica y > x luego graficamos la región que verifica x > 0 Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras: El sombreado verde representa la primera inecuación El sombreado claro representa la segunda inecuación No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado Se verifican ambas condiciones donde hay sombreado doble 8 b 8 c 8 d

Finalmente representamos la tercera inecuación y < 3 Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema Tengamos presente que esta es una región “abierta” porque las líneas que delimitan la región no están incluidas en el conjunto solución Por ejemplo el punto (1; 2) es una solución del sistema Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo dos de las condiciones pero no la tercera Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8 b 8 c 8 d

Trazamos primero un par de ejes coordenados 8 b) Para resolver inecuaciones, en general, las tratamos a cada inecuación como una ecuación y la representamos gráficamente Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y < 5 - x como si se tratara de y = 5 - x con trazos punteados porque no están incluidos los valores de y = 5 - x entre los que buscamos sino los de y < 5 - x sombreamos el semiplano que verifica y < 5 - x luego graficamos la región que verifica y  x + 3 Se aprecian cuatro regiones con diferentes sombras: El sombreado verde representa la primera inecuación El sombreado marrón representa la segunda inecuación Se verifican ambas condiciones donde hay sombreado doble No se verifican ninguna de las condiciones donde no hay sombreado 8 c 8 d

Finalmente representamos la tercera inecuación y  1 Queda determinada una región con triple sombreado, y es precisamente esa la zona del conjunto solución del sistema esta es una región “abierta” en la línea verde pero “cerrada” en las otras dos Por ejemplo el punto (1; 3) es una solución del sistema Pero (2 ; 6) no es solución porque verifica solo la tercera condición pero no las otras dos Te queda para practicar proponer la ubicación de los puntos que verifiquen dos de las inecuaciones ó solo una ó ninguna como también encontrar otros puntos que verifiquen el sistema de inecuaciones 8 c 8 d

8 c) tenemos un sistema formado por una inecuación y una ecuación que ordenada queda Trazamos primero un par de ejes coordenados Luego analizamos la inecuación y  2x - 4 como si se tratara de y = 2x - 4 sombreamos todo el semiplano que verifica la condición y  2x - 4 Representamos gráficamente Las soluciones de este sistema deben verificar ambas condiciones: Pertenecer al semiplano sombreado Pertenecer a la recta Verifican ambas condiciones los puntos de la recta que están en la región del semiplano Por ejemplo el punto (6, 5) 8 d

8 d) tenemos un sistema formado por dos ecuaciones y una inecuación que ordenada queda Trazamos primero un par de ejes coordenados Representamos gráficamente Representamos gráficamente Luego analizamos la inecuación x1  7 como si se tratara de x1 = 7 sombreamos todo el semiplano que verifica la condición x1  7 Las soluciones de este sistema deben verificar las tres condiciones Pero las rectas paralelas no tienen puntos en común, luego este sistema NO TIENE SOLUCION

Guía de ejercicios Nº2 Sistemas de Ecuaciones Lineales 1 a) María efectuó los días lunes, martes y miércoles, llamadas de varios pulsos en tres localidades diferentes del gran Buenos Aires . El jueves, pensó en cuál de las tres el pulso tenía el menor precio y no pudo recordarlo. Después de pensar, registró: L1 L2 L3 Gasto Lunes 1 1 1 11 Martes 2 1 1 17 Miérc. 3 2 1 24 Construir un modelo que permita determinar el valor de los pulsos y resolver aplicando el método matricial

1b) José los días lunes, martes y miércoles, fotocopió varias páginas en tres fotocopiadoras diferentes. Registró lo que gastó en dos tablas  : gasto Lunes 2,80 Martes 2,75 Miércoles 2,56 F1 F2 F3 Lunes 15 20 40 Martes 25 50 Miércoles 26 8 la matriz precio Fotocopiadora 1 x Fotocopiadora 2 Y Fotocopiadora 3 z la matriz la matriz Escriba un modelo matemático que permita calcular los precios unitarios de cada fotocopiadora. Calcule utilizando el método de la matriz inversa. Glosario

2) Resolver en R, si es posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, aplicando: a). Teorema de Cramer y b) Regla de Cramer 3) Dados los sistemas lineales : Clasificarlos b) Analizarlos aplicando el Teorema de Rouché Frobenius y, si es posible, determinar el conjunto solución de cada uno de ellos. Glosario

4) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones homogéneos : 5) Determinar, si existen los valores de m  R, tales que el sistema Sea: a) compatible determinado b)Incompatible c) Compatible indeterminado 6) Un grupo de 32 estudiantes está formado por personas de 18, 19 y 20 años de edad. El promedio de sus edades es 18,5. ¿ Cuántas personas de cada edad hay en la clase si la cantidad de personas de 18 años es mas que el número combinado de las de 19 y 20 años ? Glosario

7) a) ¿ Cuántas soluciones tiene un sistema cuyo número de ecuaciones es menor que el de incógnitas ? ¿ Porqué ?. b) ¿ Qué puede decir de un sistema como el mencionado en a), si es homogéneo ? c) Un sistema normal compatible, ¿ es siempre compatible determinado ? ¿Porqué ? 8) Resolver en R2 los siguientes sistemas de inecuaciones : Glosario

Miscelánea Resolver el siguiente sistema : Aunque suelen haber varias maneras de comenzar la resolución, antes comenzar a tomar un camino, lo mas conveniente puede ser operar entre ecuaciones buscando en lo posible filas dependientes, utilizando Gauss

Los tres planos se interceptan en el punto (1:-1;2)

Resolver

LOS PLANOS NO TIENEN UN PUNTO EN COMÚN Glosario