Introducción al Teorema de Gödel Eduardo Alejandro Barrio UBA - CONICET 2do Cuatrimestre de 2009 Eduardo Alejandro Barrio UBA - CONICET 2do Cuatrimestre de 2009

Expresabilidad dentro de L -Expresar una propiedad numérica: (obtener la extensión correcta) - Una propiedad P es expresada por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces (n) es verdadera - Si n no tiene la propiedad P, (n) es verdadera. Expresar depende de la riqueza expresiva del lenguaje. ¿Puede expresarse la propiedad ser una fórmula verdadera en PA dentro del lenguaje PA? ¿Podemos hablar acerca de (talk about) todas las funciones recursivas en el lenguaje de la aritmética? -Expresar una propiedad numérica: (obtener la extensión correcta) - Una propiedad P es expresada por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces (n) es verdadera - Si n no tiene la propiedad P, (n) es verdadera. Expresar depende de la riqueza expresiva del lenguaje. ¿Puede expresarse la propiedad ser una fórmula verdadera en PA dentro del lenguaje PA? ¿Podemos hablar acerca de (talk about) todas las funciones recursivas en el lenguaje de la aritmética?

Capturabilidad dentro de una T -Capturar una propiedad numérica: - Una teoría T captura una propiedad P por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces hay una demostración de (n) en T - Si n no tiene la propiedad P, hay una demostración de (n) en T. Capturar depende de los axiomas y de las capacidades de prueba de una teoría. -Capturar una propiedad numérica: - Una teoría T captura una propiedad P por una fórmula abierta (x) en un lenguaje aritmético L sss para todo número n, - Si n tiene P, entonces hay una demostración de (n) en T - Si n no tiene la propiedad P, hay una demostración de (n) en T. Capturar depende de los axiomas y de las capacidades de prueba de una teoría.

Expresabilidad Capturabilidad -Expresabilidad no implica capturabilidad: -Hay propiedades numéricas que son expresables que no son capturables. - La fórmula Prue(x) en T expresa la propiedad de ser una prueba, pero ninguna fórmula puede capturar esa propiedad. -Pero, si una teoría T captura una propiedad numérica, entonces, la expresa. -Expresabilidad no implica capturabilidad: -Hay propiedades numéricas que son expresables que no son capturables. - La fórmula Prue(x) en T expresa la propiedad de ser una prueba, pero ninguna fórmula puede capturar esa propiedad. -Pero, si una teoría T captura una propiedad numérica, entonces, la expresa.

Decibilidad y completitud respecto de la negación -Resultados: -Toda teoría inconsistente es decidible. -Cualquier teoría consistente que sea completa respecto de la negación es decidible. -Que una T sea decidible no quiere decir que sea completa respecto de la negación. - Una cosa es tener un modo mecánico de decidir lo que es un teorema (decidibilidad) y otra es tener recursos suficientes como para probar o disprove toda fórmula del lenguaje (ejemplo de teorias p.24) -Los teoremas de la aritmética pueden ser enumerados efectivamente. -Lo anterior no quiere decir que la aritmética sea decidible. -Resultados: -Toda teoría inconsistente es decidible. -Cualquier teoría consistente que sea completa respecto de la negación es decidible. -Que una T sea decidible no quiere decir que sea completa respecto de la negación. - Una cosa es tener un modo mecánico de decidir lo que es un teorema (decidibilidad) y otra es tener recursos suficientes como para probar o disprove toda fórmula del lenguaje (ejemplo de teorias p.24) -Los teoremas de la aritmética pueden ser enumerados efectivamente. -Lo anterior no quiere decir que la aritmética sea decidible.

Las verdades de la aritmética -Objetivo del capítulo 5: - mostrar que las verdades aritméticas no pueden ser enumeradas efectivamente. -Objetivo del capítulo 5: - mostrar que las verdades aritméticas no pueden ser enumeradas efectivamente.

Las verdades de la aritmética - Un lenguaje formal L es suficientemente expresivo ssi - (i) puede expresar toda relación efectivamente decidible (hay un algoritmo que una compu podría usar para decidir, en un número finito de pasos, si la relación se aplica en cualquier caso dado) - (ii) puede expresar cuantificación sobre números. - Un lenguaje formal L es suficientemente expresivo ssi - (i) puede expresar toda relación efectivamente decidible (hay un algoritmo que una compu podría usar para decidir, en un número finito de pasos, si la relación se aplica en cualquier caso dado) - (ii) puede expresar cuantificación sobre números.

Las verdades de la aritmética -Se necesitan 3 teoremas para mostrar que el conjunto de verdades aritméticas no es efectivamente numerable: - Teorema 5.1: Si W es un conjunto de números efectivamente enumerable, hay una función efectivamente computable que los enumera. - Teorema 5.2: W es el dominio numérico de algún algoritmo. - Teorema 5.3: hay un conjunto efectivamente enumerable de números K tal que su complemento (-K) no es efectivamente enumerable. -Se necesitan 3 teoremas para mostrar que el conjunto de verdades aritméticas no es efectivamente numerable: - Teorema 5.1: Si W es un conjunto de números efectivamente enumerable, hay una función efectivamente computable que los enumera. - Teorema 5.2: W es el dominio numérico de algún algoritmo. - Teorema 5.3: hay un conjunto efectivamente enumerable de números K tal que su complemento (-K) no es efectivamente enumerable.

Las verdades de la aritmética - Teorema 5.3: hay un conjunto efectivamente enumerable de números K tal que su complemento ( K) no es efectivamente enumerable. - Sea W e el dominio numérico del Algorítmo e - K: {e tal que e W e } - Para cualquier e, por definición, e K ssi e W e. - Por lo tanto, K y W e no pueden ser idénticos. - Por eso, K no es uno de los conjuntos efectivamente numerables. - Teorema 5.3: hay un conjunto efectivamente enumerable de números K tal que su complemento ( K) no es efectivamente enumerable. - Sea W e el dominio numérico del Algorítmo e - K: {e tal que e W e } - Para cualquier e, por definición, e K ssi e W e. - Por lo tanto, K y W e no pueden ser idénticos. - Por eso, K no es uno de los conjuntos efectivamente numerables.

Las verdades de la aritmética Teorema 5.4: El conjunto de verdades de un lenguaje L suficientemente expresivo no es efectivamente enumerable. - El T. 5.3 nos dice que hay un conjunto K el cual es efectivamente enumerable pero su complemento no lo es. Y el T. 5.1 implica que hay una R decidible tal que n K sss x R(x,n) - Ya que R es decidible, R es expresable en un lenguage aritmético suficientemente expresivo. Entonces sea R(m,n) cuando R(m,n) es verdadera y x R(x,n) cuando x R(x,n) es verdadera (el lenguaje puede expresar la cuantif. Sobre números naturales). - Tenemos que n K ssi xR(x,n) es verdadera - Tenemos que n K ssi xR(x,n) es verdadera. - Supongamos que el conjunto de verdades aritméticas expresable en L fuese efectivamente enumarable. Entonces, dada la descripción de R, podríamos listar efectivamente todas las verdades. (incluso aquellas que hablan de K) - Cuando llegamos a una verdad de tipo xR(x,n), la encontraríamos en un lugar de la lista. Y este procedimiento nos permitiría listar todos los elementos de K. - Pero, por hipótesis K no es efectivamente enumarable. Por eso, el conjunto de verdades no puede ser efectivamente enumerado. Teorema 5.4: El conjunto de verdades de un lenguaje L suficientemente expresivo no es efectivamente enumerable. - El T. 5.3 nos dice que hay un conjunto K el cual es efectivamente enumerable pero su complemento no lo es. Y el T. 5.1 implica que hay una R decidible tal que n K sss x R(x,n) - Ya que R es decidible, R es expresable en un lenguage aritmético suficientemente expresivo. Entonces sea R(m,n) cuando R(m,n) es verdadera y x R(x,n) cuando x R(x,n) es verdadera (el lenguaje puede expresar la cuantif. Sobre números naturales). - Tenemos que n K ssi xR(x,n) es verdadera - Tenemos que n K ssi xR(x,n) es verdadera. - Supongamos que el conjunto de verdades aritméticas expresable en L fuese efectivamente enumarable. Entonces, dada la descripción de R, podríamos listar efectivamente todas las verdades. (incluso aquellas que hablan de K) - Cuando llegamos a una verdad de tipo xR(x,n), la encontraríamos en un lugar de la lista. Y este procedimiento nos permitiría listar todos los elementos de K. - Pero, por hipótesis K no es efectivamente enumarable. Por eso, el conjunto de verdades no puede ser efectivamente enumerado.

Las verdades de la aritmética - Teorema 5.5: Hay conjuntos enumerables los cuales no son efectivamente enumerables. - El T 5.3 nos dice que hay conjuntos de números naturales que no son efectivamente enumerables, pero todos los conjuntos de números naturales son enumerables. - Sabemos por T 5.4 que el conjunto de verdades de PA no es efectivamente enumerable. Pero ese conjunto es numerable. - Teorema 5.6: El conjunto de oraciones verdaderas de un lenguaje suficientemente expresivo no es axiomatizable. - Supongamos que lo fuera, entonces hay una T tal que sus teoremas son todas las verdades de PA. Pero sus teoremas serían efectivamente enumerables. Por eso, el conjunto de verdades sería efectivamente enumerable. - Teorema 5.5: Hay conjuntos enumerables los cuales no son efectivamente enumerables. - El T 5.3 nos dice que hay conjuntos de números naturales que no son efectivamente enumerables, pero todos los conjuntos de números naturales son enumerables. - Sabemos por T 5.4 que el conjunto de verdades de PA no es efectivamente enumerable. Pero ese conjunto es numerable. - Teorema 5.6: El conjunto de oraciones verdaderas de un lenguaje suficientemente expresivo no es axiomatizable. - Supongamos que lo fuera, entonces hay una T tal que sus teoremas son todas las verdades de PA. Pero sus teoremas serían efectivamente enumerables. Por eso, el conjunto de verdades sería efectivamente enumerable.

Las verdades de la aritmética - Teorema 5.7: Si T es una teoría axiomatizada correcta (sound), T no puede ser completa respecto de la negación. - Supongamos que T es una teoría correcta. Entonces sus teoremas son todos verdaderos. Entonces la falta de equivalencia entre verdades de la teoría y teoremas debe ser a causa de que hay una verdad que no se puede probar. Sea A esta verdad. Entonces T no prueba A. Y ya que No A es falsa, T tampoco la puede probar (T es sólida y sólo prueba teoremas verdaderos). - Teorema 5.7: Si T es una teoría axiomatizada correcta (sound), T no puede ser completa respecto de la negación. - Supongamos que T es una teoría correcta. Entonces sus teoremas son todos verdaderos. Entonces la falta de equivalencia entre verdades de la teoría y teoremas debe ser a causa de que hay una verdad que no se puede probar. Sea A esta verdad. Entonces T no prueba A. Y ya que No A es falsa, T tampoco la puede probar (T es sólida y sólo prueba teoremas verdaderos).

Aritméticas suficientemente expresivas El T 5.7 supone la corrección de la aritmética para mostrar la incompletitud. Pero este supuesto es innecesario para probar que la aritmética es incompleta. Objetivo: Cómo argumentar desde la consistencia a la incompletitud. Si se debilita la suposición (de la corrección a la consistencia), necesitamos considerar T que no sólo expresen sino que capturen las propiedades aritméticas. (es decir, T que prueben teoremas acerca de las propiedades aritméticas). El T 5.7 supone la corrección de la aritmética para mostrar la incompletitud. Pero este supuesto es innecesario para probar que la aritmética es incompleta. Objetivo: Cómo argumentar desde la consistencia a la incompletitud. Si se debilita la suposición (de la corrección a la consistencia), necesitamos considerar T que no sólo expresen sino que capturen las propiedades aritméticas. (es decir, T que prueben teoremas acerca de las propiedades aritméticas).

Aritméticas suficientemente expresivas Queremos que las demostraciones dentro de la teoría sean capaces de atrapar, caso por caso, cualquier prueba que se pueda hacer informalmente. Si P es una propiedad efectivamente decidible de números, queremos que T sea capaz de capturar P. Una T de la aritmética es suficientemente fuerte sss captura todas las propiedades numéricas efectivamente decidibles. Queremos que las demostraciones dentro de la teoría sean capaces de atrapar, caso por caso, cualquier prueba que se pueda hacer informalmente. Si P es una propiedad efectivamente decidible de números, queremos que T sea capaz de capturar P. Una T de la aritmética es suficientemente fuerte sss captura todas las propiedades numéricas efectivamente decidibles.

Teorema de Indecidibilidad de PA Teorema 6.1 Ninguna teoría formal de la aritmética, consistente, suficientemente fuerte es decidible. Estrategia de la prueba: la suposición de que T es consistente, capaz de capturar todas las propiedades numéricas efectivamente decidibles y decidible conduce a contradicción. Consecuencia: El razonamiento matemático no puede mecanizarse totalmente. Debe dejar de ser decidible una teoría suficientemente expresiva que sea consistente. Teorema 6.1 Ninguna teoría formal de la aritmética, consistente, suficientemente fuerte es decidible. Estrategia de la prueba: la suposición de que T es consistente, capaz de capturar todas las propiedades numéricas efectivamente decidibles y decidible conduce a contradicción. Consecuencia: El razonamiento matemático no puede mecanizarse totalmente. Debe dejar de ser decidible una teoría suficientemente expresiva que sea consistente.

Completitud respecto de la Negación T.3.2 Cualquier T consistente que sea negación completa es decidible. T. 6.1 Ninguna teoría formal de la aritmética, consistente, suficientemente fuerte es decidible. Implican que: Teorema 6.2 Una teoría formal de la aritmética, consistente, suficientemente fuerte no puede ser completa respecto de la negación. Siempre habrá un par de fórmulas A y su negación tal que ninguna de las dos son teoremas. Siempre habrá fórmulas verdaderas que la T no puede decidir. T.3.2 Cualquier T consistente que sea negación completa es decidible. T. 6.1 Ninguna teoría formal de la aritmética, consistente, suficientemente fuerte es decidible. Implican que: Teorema 6.2 Una teoría formal de la aritmética, consistente, suficientemente fuerte no puede ser completa respecto de la negación. Siempre habrá un par de fórmulas A y su negación tal que ninguna de las dos son teoremas. Siempre habrá fórmulas verdaderas que la T no puede decidir.