Capítulo 5: Álgebra booleana Autor: José Alfredo Jiménez Murillo

Objetivos - Aprender a simplificar expresiones booleanas usando teoremas del álgebra booleana. Aprender a simplificar expresiones booleanas por medio de mapas de Karnaugh. Representar expresiones booleanas por medio de bloques lógicos. - -

Introducción El álgebra booleana fue desarrollada por George Boole (1815-1864) y es la forma algebraica en que se manipulan las proposiciones lógicas. Debido al carácter abstracto de sus principios, el álgebra booleana no tuvo una aplicación directa sino hasta 1938 cuando la compañía de teléfonos Bell de Estados Unidos la utilizó para realizar un análisis de los circuitos de su red telefónica. Claude E. Shannon, entonces estudiante de postgrado del Instituto Tecnológico de Massachussets, creó a partir del álgebra de Boole la llamada álgebra de conmutación para representar las propiedades de conmutación eléctrica biestables, demostrando con esto que el álgebra booleana se adapta perfectamente al diseño y representación de circuitos lógicos de control basados en relés e interruptores.

El álgebra booleana trabaja con señales binarias, y una gran cantidad de sistemas de control, también conocidos como digitales, usan señales binarias. Las señales binarias sólo pueden tener el valor de falso o verdadero que proviene de sensores que mandan la información al circuito de control, mismo que lleva a cabo la evaluación para obtener un valor que indica si se ejecuta o no una determinada actividad. Los sensores pueden ser ópticos, magnéticos, de temperatura o de nivel. De cada uno de estos tipos de sensores existen tamaños y modelos, de acuerdo con el uso y funcionamiento; por ejemplo, hay infrarrojos, láser, fotoeléctricos y de ultrasonido, entre otros.

Expresiones booleanas Para resolver un problema práctico en el cual se desea automatizar un proceso, es necesario realizar un análisis detallado de lo que se quiere lograr así como de los tipos de sensores necesarios para obtener las señales. Determinado lo anterior, se plantea el funcionamiento del circuito lógico en una expresión matemática que recibe el nombre de expresión booleana. Cada una de las variables de que está integrada la expresión boolena, representa un sensor que provee al circuito de una señal de entrada.

Propiedades de las expresiones booleanas Están compuestas de literales (A, B, C,...) y cada una de ellas representa la señal de un sensor. Un ejemplo es F = A’BD + AB’CD. b) El valor de las señales o de la función sólo puede ser 0 o 1, falso o verdadero. c) Además de literales, en la expresión booleana se puede tener el valor de 0 o 1. Por ejemplo F = A’BD1 + AB’CD + 0. d) Las literales de las expresiones booleanas pueden estar conectadas por medio de los operadores lógicos And (), Or () y Not (’). e) Es posible obtener el valor de una expresión booleana sustituyendo en cada una de las literales el valor de 0 o 1, teniendo en cuenta el comportamiento de los operadores lógicos.

Ejemplo A B C D F 1 La tabla de verdad muestra todas las señales existentes cuando se tienen 4 sensores. F es un sistema que funciona solamente cuando un conjunto de señales se presenta. La expresión booleana que representa el funcionamiento de F es: F = A’BC’D + A’BCD + A’BCD’ + ABC’D + ABCD + ABCD’ + AB’CD + AB’CD’ Esta función tiene literales redundantes y por lo tanto debe ser simplificada.

Métodos para simplificar expresiones booleanas Cuando se plantea un problema, en general la expresión booleana obtenida no necesariamente es la óptima, esto es, la más fácil, clara y sencilla de implementar utilizando compuertas lógicas. Una expresión booleana puede ser simplificada empleando: Teoremas del álgebra booleana. Mapas de Karnaugh. a) b)

Simplificación de expresiones booleanas mediante teoremas del álgebra de Boole En un teorema la letra A representa no sólo una variable, sino también un término o factor, o bien una expresión. Los teoremas se presentan juntamente con su dual. Para obtener el “dual” de un teorema se convierte cada 0 (cero) en 1 (uno) y cada 1 (uno) en 0 (cero), los signos más (+) se convierten en paréntesis, puntos o simplemente no se ponen, y los puntos en signos más (+). Además de esto, las variables no se complementan ya que al hacerlo se obtendría el complemento en lugar del dual. En la siguiente tabla se presentan los teoremas más importantes.

Teoremas del álgebra de Boole Número Teorema Dual 1a. 0A = 0 1 + A = 1 2a. 1A = A 0 + A = A 3a. AA = A A + A = A 4a. AA' = 0 A + A' = 1 5a. AB = BA A + B = B + A 6a. ABC = A(BC) A + B + C = A + (B + C) 7a. (AB...Z)' = A' + B' +...+ Z' (A + B +...+ Z)' = A'B'...Z' 8a. AB + AC = A(B + C) (A + B)(A + C) = A + BC 9a. AB + AB' = A (A + B)(A + B') = A 10a. A + AB = A A(A + B) = A 11a. A + A'B = A + B A(A' + B) = AB 12a. CA + CA'B = CA + CB (C + A)(C + A' + B) = (C + A)(C + B) 13a. AB + A'C + BC = AB + A'C (A + B)(A' + C)(B + C) = (A + B)(A' + C)

Ejemplo A partir de la tabla de verdad se obtuvo la siguiente expresión: F = A’BC’D + A’BCD + A’BCD’ + ABC’D + ABCD + ABCD’ + AB’CD + AB’CD’ La simplificación por medio de teoremas es la siguiente. Aplicando el teorema 8a que consiste en factorizar por término común se tiene que F = A’BD(C’+C) + ABD(C’+C) + BCD’(A’+A) + AB’C(D+D’) Después de aplicar el 4 dual resulta que F = A’BD + ABD + BCD’ + AB’C

Continuación de simplificación por teoremas Aplicando nuevamente el teorema 8: F = BD (A’ + A) + BCD’ + AB’C Después de aplicar 4 dual: F = BD + BCD’ + AB’C Aplicando el teorema 8 y el 5: F = B(D + D’C) + AB’C Después de aplicar el teorema 11 y 8 a la inversa: F = BD + BC + AB’C Aplicando el teorema 8 y el 5: F = BD + C(B + B’A) Después de aplicar el teorema 11 y 8 a la inversa: F = BD + BC + AC Expresión simplificada

Simplificación de expresiones booleanas usando mapas de Karnaugh El mapa representa un diagrama visual de todas las formas posibles en que se puede plantear una expresión booleana en forma normalizada. Al reconocer varios patrones se pueden obtener expresiones algebraicas alternas para la misma expresión, y de éstas se puede escoger la más simple. Las tablas o mapas se dividen en cierto número de casillas, dependiendo de la cantidad de variables que intervengan en la expresión. El número de casillas se puede calcular con la fórmula número de casillas = 2n donde n es el número de variables de la función booleana.

Simplificación de expresiones booleanas usando mapas de Karnaugh Un minitérmino es aquel que forma parte de la expresión y que se puede escribir de la manera más simple, formando lo que se conoce en álgebra elemental como un monomio. Para que el monomio sea minitérmino debe de incluir todas las variables en cuestión. Ejemplo F = A‘BC + AB’C’ + A’C No es minitérmino porque le faltan variables Son minitérminos

Ejemplo Simplificar F=A’B’ +A’B F = A’ Resultado B A 1 B A 1 b) Se agrupan los unos adyacentes en bloques cuadrados o rectangulares de 1, 2, 4, 8, 16, 32, …, 2n Simplificar F=A’B’ +A’B a) Se representa cada minitérmino de la expresión boolena por un 1 en la celda correspondiente. B A 1 B A 1 c) Se lee la función boolena simplificada, eliminando las variables que cambian de valor de un 1 al otro 1 del bloque, y se conservan las que no sufren cambio alguno. F = A’ Resultado

Se recomienda Agrupar la información con el menor número posible de bloques ya que de cada bloque se obtiene cuando menos una literal. Los bloques deben estar conformados por el mayor número de casillas, ya que entre más grande sea el número de casillas agrupadas por un bloque más simple será la expresión booleana resultante.

Ejemplo Representar en un mapa de Karnaugh y determinar la expresión booleana simplificada de: F = X’Y’Z’ + X’Y’Z + X’YZ’ +XYZ’ Después de representar la información en el mapa y agruparla se tiene: YZ X 00 01 11 10 1 La expresión simplificada es: F= X’Y’ + YZ’

Ejemplo A partir del siguiente mapa YZ X 00 01 11 10 1 La expresión booleana simplificada es: F = X’Z + Y Un 1 puede ser parte de más de un bloque. Todos los bloques deben tener por lo menos un 1 exclusivo de él. La expresión sin simplificar es: F = X’Y’Z + X’YZ + X’YZ’ + XYZ +XYZ’

Ejemplo Simplificar: F= W’X’Y’Z’ + WX’Y’Z’ + WX’Y’Z + YZ’ + W’XYZ + WXYZ + WXY Como YZ’ no es minitérmino se le debe de agregar las variables faltantes con todas las combinaciones posibles: YZ WX 00 01 11 10 1 YZ’= W’X’YZ’ + W’XYZ’ + WX’YZ’ + WXYZ’ Las esquinas del mapa se pueden doblar y formar un bloque de cuatro unos adyacentes. Función booleana simplificada: F = X’Z’ + XY + WX’Y’

Ejemplo Considérese la expresión booleana F = A’BC’D + A’BCD + A’BCD’ + ABC’D + ABCD + ABCD’ + AB’CD + AB’CD’ La función booleana simplificada en: a) Sumas de productos es CD AB 00 01 11 10 1 F = BD + BC + AC En el caso de sumas de productos se utilizan los unos.

Ejemplo La función booleana simplificada en: b) Productos de sumas es: En el caso de productos de sumas se utilizan los ceros. b) Productos de sumas es: F’ = A’B’ + C’D’ + B’C’ Se complementa la función (F’)’ = (A’B’ + C’D’ + B’C’)’ CD AB 00 01 11 10 F = (A+B)(C+D)(B+C) Esta función booleana resultante es equivalente a la obtenida en el inciso (a).

Mapa de 5 variables Como se muestra a continuación, un mapa de 5 variables es equivalente a dos mapas de 4: CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 4 01 11 1 10 X 2 3 5 Cada celda en un mapa de cinco, tiene 5 celdas adyacentes.

Más sobre mapas de cinco variables CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 01 11 10 Las dos celdas en guinda pueden formar un bloque de 4 con las celdas en verde.

Mapa de 6 variables DEF ABC 000 001 011 010 110 111 101 100 Las 4 celdas guindas se pueden agrupar con 4 verdes para formar un bloque de 8

Ejemplo Considérese el siguiente mapa: CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 01 11 10 Determinar la función boolena simplificada en: a) Sumas de productos. b) Productos de sumas.

Solución en sumas de productos CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 1 01 11 10 Algunas veces existe más de una solución, y ésta es una de ellas. La función booleana simplificada es: F = B’D’E’ + A’B’C’ + A’DE’ + A’B’D + B’DE’ + AB’C

Solución en productos de sumas CDE AB 000 001 011 010 110 111 101 100 00 01 11 10 F’ = BD’ + BE + AB + AC’E + A’CD’E (F’)’ = (BD’ + BE + AB + AC’E + A’CD’E)’ F = (B’+D)(B’+E’)(A’+B’)(A’+C+E’)(A+C’+D+E’)

Compuertas lógicas Un bloque lógico es una representación simbólica gráfica de una o más variables de entrada a un operador lógico. Los símbolos varían de acuerdo con el área en donde se utilizan. En mecánica se les llama válvulas (paso del aire o aceite), en electricidad apagadores, contactos (paso de corriente eléctrica) y en electrónica puertas o compuertas (paso de pulsos eléctricos). Aquí sólo se abordarán los símbolos usados en electrónica para la representación de las compuertas, ya que son los que interesan al área de la computación, sin embargo el tratamiento teórico por medio del álgebra booleana es válido para todos ellos independientemente del área.

Compuertas básicas Compuerta Símbolo O (Or) Y (And) No (Not) Las compuertas pueden recibir una o más señales de entrada. A A + B O (Or) B A AB Y (And) En la tabla, A y B son señales que entran a la compuerta y pueden tener un valor de 1 o 0 dependiendo de si existe o no la señal. B A’ No (Not) A A AB’ + A’B Or-exclusivo (Xor) B Esos valores de entrada generan una sola salida, que a su vez también es 0 o 1 dependiendo de la compuerta de que se trate.

Ejemplo Representar con compuertas básicas la siguiente expresión boolena: F= (A’B+C(D+A’)+B)’ A’ A B C D A’B (D+A’) C(D+A’) A’B+C(D+A’)+B F= (A’B+C(D+A’)+B )’

Compuertas compuestas También existen compuertas lógicas compuestas como Nand y Nor, que son una combinación de los operadores Not y And para la primera y Not y Or para la segunda. Compuerta Símbolo Cuando es solamente una la señal que entra, tanto Nand como Nor actúan como una compuerta Not. A B (A + B)’ Nor Nand A B (AB)’ A A’ Xnor A B AB + A’B’

Compuertas compuestas Con las compuertas compuestas Nand y Nor es posible obtener todas las compuertas básicas de tal manera que en general los circuitos electrónicos se implementan exclusivamente con alguna de ellas. A B A’ B’ (A’B’)’=A+B (AB)’ AB Or And Not

Ejemplo Representar exclusivamente con compuertas NAND la siguiente expresión boolena: F = CB’+BD’ +A’ A B C D B’ (CB’)’ (BD’)’ D’ [ (CB’)’(BD’)’A ]’ = CB’ + BD’ +A’

Ejemplo Representar exclusivamente con compuertas NOR la siguiente expresión boolena: F = CB’+BD’ +A’ A B C D C’ (C’+B)’ A’ B’ [ (C’+B)’+(B’+D)’+A’ ]’ (B’+D)’ (C’+B)’+(B’+D)’+A’ = CB’+BD’+A’

Ejemplo Considérese el siguiente circuito: A B C D a) ¿Cuál es la función boolena sin simplificar que sale del circuito? b) ¿Cuál es la función booleana simplificada?

F = [B’(A+D)]’ [(AC+A’C’)D+ (AC+A’C’)’D’] Respuestas a) Función boolena sin simplificar A B C D B’ [B’(A+D)]’ A+D F AC+A’C’ D’ (AC+A’C’)D+ (AC+A’C’)’D’ F = [B’(A+D)]’ [(AC+A’C’)D+ (AC+A’C’)’D’]

Respuestas b) Función boolena simplificada. F = [B’(A+D)]’ [(AC+A’C’)D+ (AC+A’C’)’D’] F = [B+(A+D)’] [ACD+A’C’D+ (A’+C’)(A+C)D’] F = [B+A’D’] [ACD+A’C’D+ A’CD’+AC’D’] F = ABCD+A’BC’D+A’BCD’+ABC’D’+A’CD’ F = A’CD’(B+1)+ABCD+A’BC’D+ABC’D’ F = A’CD’+ABCD+A’BC’D+ABC’D’

Ejemplo Considérese la tabla de al lado: Determinar: F 1 Considérese la tabla de al lado: Determinar: a) La función booleana sin simplificar. b) La función booleana simplificada en sumas de productos. c) La función booleana simplificada en productos de sumas. d) Probar por medio de una tabla de verdad que las expresiones de los incisos (b) y (c) son equivalentes. e) Representar exclusivamente con compuertas NAND la función boolena del inciso (b).

Respuestas A B C D F 1 a) Función booleana sin simplificar se puede obtener cuando F=1. F = A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’B’CD + A’B’CD’ + A’BCD + A’BCD’ +AB’C’D’ AB’CD’

Respuestas F = A’B’ +A’C+ B’D’ CD AB 00 01 11 10 1 A partir de la función boolena: F = A’B’C’D’ + A’B’C’D + A’B’CD + A’B’CD’ + A’BCD + A’BCD’ +AB’C’D’ AB’CD’ CD AB 00 01 11 10 1 b) La función booleana simplificada en sumas de productos es F = A’B’ +A’C+ B’D’

Respuestas F’ = AB +BC’+ AD (F’)’ =( AB +BC’+ AD)’ c) La función booleana simplificada en productos de sumas es CD AB 00 01 11 10 F’ = AB +BC’+ AD (F’)’ =( AB +BC’+ AD)’ F =(A’+B’)(B’+C)(A’+D’)

Respuestas d) F = A’B’ +A’C+ B’D’ = F =(A’+B’)(B’+C)(A’+D’) A B C D A’ 1

Respuestas F = A’B’ +A’C+ B’D’ e) Representar exclusivamente con compuertas NAND la función boolena del inciso (b). F = A’B’ +A’C+ B’D’ F=[ (A’B’)’(A’C’)’(B’D’)’ ]’ =A’B’+A’C+B’D’ A B C D B’ (A’B’)’ D’ A’ (B’D’)’ (A’C)’

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