6. Capitalización compuesta

Capitalización compuesta Es la ley financiera según la cual los intereses producidos se añaden al capital y vuelven a producir nuevos intereses hasta finalizar la operación financiera. Los elementos que intervienen: Co: capital inicial. n: duración. i: tipo de interés anual. Is: intereses del año s. I = Cs1 ∙ i IT: interés total. IT Cn: capital final o montante. Cn = Co + IT

Capital final o montante Al final del primer año: C1 = Co + I1; I1 = Co ∙ i C1 = Co + Co∙ i = Co ∙ (1 + i) Final 2.º año: C2 = Co ∙ (1+i) ∙ (1+i) = Co ∙ (1+i)2 Final 3.er año: C3 = Co ∙ (1 + i)3 Final año n: Cn = Co ∙ (1 + i)n

Capital inicial Sabiendo que: Cn = Co∙ (1 + i)n, y despejando Co: Co = Cn / (1 + i)n Co = Cn ∙ (1 + i)-n Si se conocen los intereses: IT = Cn - Co; Co = Cn - IT

Cálculo de los intereses totales Cn = Co + IT IT = Cn – Co = Co ∙ (1+i)n – Co = Co∙[(1 + i)n – 1] IT = Co ∙ [(1 + i)n – 1]

Cálculo del tipo de interés Partiendo de: Cn = Co ∙ (1 + i)n Cn/Co = (1 + i)n (Cn/Co)1/n = 1 + i i = (Cn/Co)1/n – 1

Cálculo del tiempo Partiendo de: Cn = Co∙(1 + i)n log Cn = log Co ∙ (1 + i)n log Cn = log Co+ n ∙ (1 + i) n = (log Cn - log Co) / log (1 + i)

Diferencias entre capitalización compuesta y simple En capitalización compuesta los intereses son productivos; se incorporan al capital para generar nuevos intereses, y en capitalización simple no; siempre se calculan los intereses sobre el capital inicial. El montante coincide en capitalización simple y compuesta en dos momentos: en el momento 0 y en el momento 1 año. En el resto de casos el montante será mayor en capitalización simple para periodos inferiores al año y será mayor en capitalización compuesta para periodos superiores al año.

Interés nominal Es un tanto proporcional anual (J(m)) y se obtiene multiplicando m veces el tipo de interés. J(m) = m ∙ i(m) Al despejar i(m); i(m) = J(m)/m

Tantos equivalentes Para que el tanto i sea equivalente a i(m), los montantes deben ser iguales, por tanto: (1 + i) = [1 + i(m)]m i(m) = (1 + i)1/m – 1; i = [1 + i(m)]m – 1

Tipo nominal y tipo efectivo Sabiendo que i = [1 + i(m)]m – 1 y que i(m) = J(m) /m i = [1 + J(m) /m] – 1 Comparando, se observa que la tasa anual equivalente, i, es mayor que el tipo de interés nominal, J(m).

Capitalización fraccionada Se utiliza cuando el periodo de capitalización no es anual, sino, mensual, bimensual, trimestral, etc. La fórmula del capital final será: Cn = Co ∙ [1 + i(m)]n+m Existen dos formas de cálculo: Convenio exponencial: Cn = Co ∙ (1 + i)n+m Convenio lineal: Cn = Co ∙ (1 + i)n ∙ (1 + m ∙ i)

Actualización compuesta o descuento compuesto Operación financiera que sustituye un capital futuro por otro con vencimiento presente. D = Cn – Co. Existen dos tipos de descuento: Descuento racional o matemático: Dr = Cn · [1 – (1 + i)n] Descuento comercial: Dc = Cn · [1 – (1 – d)n]; d = i/(1 + i); i = d/(1 + d)