UD 5 INTERÉS SIMPLE.

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1 UD 5 INTERÉS SIMPLE

2 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 Es la ley financiera en la que los intereses de cada periodo se calculan siempre sobre el mismo capital. EJEMPLO: Deposito en el banco 1000 €. Me dan un interés del 2% semestral. ¿Al final de año, cuánto tendré? Hoy 1000 € Al año 1040 € 6 meses 12 meses 1000 x 2% = 20 € 1000 x 2% = 20 €

3 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 Se caracteriza porque los intereses producidos no se añaden al capital final de cada período para el cálculo de los intereses del período siguiente, sino que los intereses generados se retiran y se vuelve a invertir el mismo capital, que permanece constante en el tiempo. Se utiliza, normalmente, en operaciones a corto plazo.

4 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 Ejemplos de operaciones financieras a las que se le aplica el interés simple: Cuentas corrientes bancarias. El descuento de efectos: letras de cambio, pagarés. En primer lugar estudiaremos interés simple para periodos enteros anuales y posteriormente para periodos inferiores al año.

5 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 Hablamos de CAPITALIZACIÓN , cuando partiendo de un capital inicial queremos saber el valor de ese capital al final de un periodo de tiempo. Capital inicial = 1000 € Capital final = 1040 €

6 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 Hablamos de ACTUALIZACIÓN , cuando partiendo de un capital FINAL queremos saber el valor de ese capital al INICIO de un periodo de tiempo. Capital inicial = 1000 € Capital final = 1040 €

7 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 CAPITALIZACIÓN ANUAL

8 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 El interés simple se aplica en una operación financiera cuando para el cálculo de los intereses de cada periodo no se tiene en cuenta nada más que el capital inicial. CAPITAL I1 I2 I3 PERIODOS I1+ I2+I3

9 EL INTERÉS SIMPLE Y LA CAPITALIZACIÓN ANUAL
UD 5 Elementos que intervienen en una operación financiera: Co = Capital Inicial n = Duración de la operación financiera. i = Tipo de interés anual expresado en tanto por uno I = Intereses de un año. Como se calculan sobre el capital inicial, su valor será Co x i. Será igual para todos los periodos. IT = Intereses totales de la operación (I +I +I…) Cn = Capital final de la operación

10 Capital final o montante
UD 5 Capital final o montante Se trata de saber cuál es el valor del capital final de un capital Co en régimen de capitalización simple transcurridos n años, siendo el tanto anual aplicado a la operación i. Cn = Co + IT IT = I + I + I +…+ I = n * I (Intereses totales) I = Co * i (Intereses de un periodo) IT = Co * n *i

11 Cn = Co (1 + n x i) Si sustituimos I por su valor en Cn = Co + IT
UD 5 IT = Co x n x i Si sustituimos I por su valor en Cn = Co + IT Cn = Co + Co x n x i Sacamos factor común Co Cn = Co (1 + n x i) Expresión que nos permite calcular el montante o capital final en función del capital inicial, dados el tiempo y el tipo. Ver caso práctico 1.

12 Calculo de los intereses totales
UD 5 Calculo de los intereses totales Sabiendo que: IT= n x I y además que: I = Co x i Si sustituimos I por su valor en la primera expresión, se obtiene: IT = Co x n x i Ver caso práctico 2.

13 Cálculo del capital inicial
UD 5 Cálculo del capital inicial A partir de Cn = Co ( 1 + n +i), despejamos Co y obtenemos: Cn Co = ( 1+ n * i) O bien, si conocemos los intereses, IT = Cn – Co, de donde: Co = Cn - IT Ver caso práctico 3-4

14 Realizar actividades de la 1 a la 4 de la Página 105
UD 5 Realizar actividades de la 1 a la 4 de la Página 105 Realizar actividad 5 Página 106

15 Cálculo del tipo de interés Partiendo de IT = Co * n * i, despejamos i
UD 5 Cálculo del tipo de interés Partiendo de IT = Co * n * i, despejamos i IT i = (Co * n) Si tenemos en cuenta que IT = Cn – Co, se obtiene Cn - Co i = Co * n Ver caso práctico 5.

16 Cálculo del tiempo n = n =
UD 5 Cálculo del tiempo Partiendo de IT = Co * n * i y despejamos n, resulta: IT n = Co * i O bien Cn - Co n = Co * i Ver caso práctico 6

17 Realizar actividades de la 1 a la 5. Página 123
UD 5 Realizar actividades de la 1 a la 5. Página 123

18 CAPITALIZACIÓN NO ANUAL
UD 5 CAPITALIZACIÓN NO ANUAL

19 m es el número de veces que un periodo está contenido en el año
UD 5 Capitalización en periodos inferiores al año Periodos más usuales: PERIODOS m Años 1 Semestres 2 Trimestre 4 Cuatrimestre 3 Meses 12 Semanas 52 Días (año civil) 365 Días (año comercial) 360 m es el número de veces que un periodo está contenido en el año

20 Capitalización en periodos inferiores al año
UD 5 Capitalización en periodos inferiores al año Al usar las fórmulas anteriores para periodos anuales en otros no anuales, nos podemos encontrar con dificultades: Qué el tiempo venga expresado en unos periodos y el interés en otros. Por ejemplo: que el tiempo venga expresado en semestres y el interés sea anual.

21 Tenemos que homogenizar
UD 5 Capitalización en periodos inferiores al año Tenemos que homogenizar Es decir, convertir ambos magnitudes en la misma unidad de tiempo Tendremos que buscar un tipo de interés equivalente al anual y ya podemos utilizar las fórmulas aprendidas normalmente.

22 Tantos equivalentes y tantos proporcionales
UD 5 Tantos equivalentes y tantos proporcionales Se denominan tantos equivalentes aquellos que aplicados a un mismo capital producen idéntico montante durante el mismo intervalo de tiempo, aunque se refiera a diferentes frecuencias de capitalización.

23 Ambos tipos de interés son equivalentes
UD 5 Capitalización en periodos inferiores al año Ejemplo: Siendo Co = 1000 € n = 2 años i = 12% anual ¿Cn? Cn= 1000 (1+2 x 0,12) = 1240 € Siendo Co = 1000 € n = 2 años i = 1% mensual ¿Cn? Convertimos el tiempo en meses: 12x2 = 24 meses Cn= 1000 (1+24 x 0.01) = 1240 € Ambos tipos de interés son equivalentes

24 Relación entre el tipo de interés anual y el de un periodo fraccionado
UD 5 Relación entre el tipo de interés anual y el de un periodo fraccionado i = tipo de interés anual expresado en tanto por uno. i(m) = tipo de interés equivalente de un periodo fraccionado. m = número de veces que está incluido el periodo de frecuencia en el año. (número de veces que está incluido i(m) en i ) i(2) SEMESTRAL i(2) = 0,12/2 = 0,06 i(3) CUATRIMESTRAL i(3) = 0,12/3 = 0,04 i(4) TRIMESTRAL i(4) = 0,12/4 = 0,03 Ejemplo: i =12 % i = 0, 12

25 Tantos equivalentes y tantos proporcionales
UD 5 Tantos equivalentes y tantos proporcionales Supongamos que se calcula el montante de una cantidad Co al cabo de n periodos anuales al tanto i por un lado Cn = (1 +n*i) Y el mismo montante con n.m periodos inferiores al año al tanto i(m) Cn = (1 + n*m*i(m)) Si los tipos usados son equivalentes, tenemos: Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m))

26 Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m)) Son tantos equivalentes
UD 5 Tantos equivalentes y tantos proporcionales Co(1 +n*i) = Co (1 + n*m*i(m)) Simplificando: n*i = n * m* i(m) De donde: i = m * i(m) i(m) = i O también: m Son tantos equivalentes

27 UD 5 Tantos equivalentes y tantos proporcionales A partir de este momento cuando surja una operación en la que el tiempo esté referido a fracciones del año, bastará con dividir el tanto anual entre el fraccionamiento m y trabajar con las fórmulas deducidas para periodos anuales

28 Tantos equivalentes y tantos proporcionales
UD 5 Tantos equivalentes y tantos proporcionales Actividades: Página 123

29 FORMAS ABREVIADAS PARA EL CÁCULO DE LOS INTERESES
UD 5 FORMAS ABREVIADAS PARA EL CÁCULO DE LOS INTERESES

30 Formas abreviadas para el calculo de los intereses
UD 5 Formas abreviadas para el calculo de los intereses Es habitual usar fórmulas abreviadas de cálculo de los intereses en determinadas operaciones, puesto que facilitan el cálculo y la comprensión de la operación financiera que se está realizando.

31 Formas abreviadas para el calculo de los intereses
UD 5 Formas abreviadas para el calculo de los intereses Conceptos más utilizados: El número comercial (N): es el resultado de multiplicar el capital por el tiempo N = Co x n El divisor fijo (D): Es el cociente entre la constante m y el tipo de interés D = m i

32 Sustituyendo en la fórmula para el cálculo de los intereses tenemos:
UD 5 Formas abreviadas para el calculo de los intereses Sustituyendo en la fórmula para el cálculo de los intereses tenemos: IT = N D La formula abreviada para el cálculo de los intereses e usan sobre todo en el cálculo de los intereses de las cuentas corrientes bancarias y en los casos de equivalencia financiera.

33 Realizar actividades:
UD 5 Formas abreviadas para el calculo de los intereses Realizar actividades: 6 de la Página 110 de la Página 123

34 UD 5 EL DESCUENTO

35 UD 5 Imaginen que están en una tienda de informática en un día cualquiera de su actividad. El primer cliente que llega a la empresa compra un ordenador pero acuerda con nosotros no pagar al contado: firma con nosotros una letra de cambio. El siguiente cliente compra tres portátiles para su empresa y la forma de pago será también a plazo a través de dos pagarés. Esto mismo ocurre con más clientes que llegan a la empresa durante ese día y los días siguientes. Al final de la semana tan solo se han cobrado en efectivo operaciones valoradas en €, y se han aplazado €.

36 UD 5 El Descuento Lógicamente, el empresario va a tener que hacer frente a una serie de pagos (empleados, gastos de luz, agua, proveedores, etc.). Para poder hacer frente a ellos acude a una entidad financiera para que le anticipe el dinero que él tiene que cobrar en los respectivos vencimientos. Para ello el empresario entrega a la entidad financiera los efectos que tiene para que el banco se encargue de cobrarlos y anticiparle ahora el dinero.

37 UD 5 El Descuento Por este motivo el banco cobrará unas comisiones, gastos e intereses. A esta operación se le denomina descuento. Conviene destacar que las entidades financieras aplican el descuento sobre el nominal y no sobre el líquido, que sería la postura más lógica matemáticamente hablando, pero menos rentable para estas entidades.

38 UD 5 El Descuento Operación por la que una institución financiera adelanta el importe de un efecto a cobrar en un periodo posterior de tiempo. A cambio cobra intereses, comisiones y gastos. Los efectos más usuales en el descuento son letras comerciales y pagarés, y al descuento de estos se les denomina negociación de efectos. Es la situación inversa a la capitalización simple: es una operación financiera que sustituye un capital futuro por otro con vencimiento presente.

39 UD 5 El Descuento Matemáticamente se entiende por descuento simple la operación financiera que consiste en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente; esta operación, además, es la inversa a la capitalización simple.

40 Si llamamos: Entonces: Pagaré: 1000 € Vencimiento. 2 años E = 850 €
Hoy años D= 150 € Si llamamos: E: Efectivo o cantidad adelantada N : Nominal o importe del cobro que se adelanta. D: Descuento o diferencia entre el nominal y el efectivo Entonces: D = N - E N = E + D o Si usamos la terminología de la unidad anterior: N = Cn E = Co Por lo que: D = Cn - Co

41 Hay dos formas de calcular el descuento:
UD 5 El Descuento Hay dos formas de calcular el descuento: Descuento comercial Dc: las más habitual Descuento racional Dr: más lógica y menos usada

42 Cuando el tiempo viene expresado en unidades inferiores al años
UD 5 Cuando el tiempo viene expresado en unidades inferiores al años Dc = Cn * n* i o Dc = Cn * n* i/m Dc: Descuento comercial Cn: Nominal o valor en el momento o fecha del vencimiento del cobro. n: Tiempo o periodo que va desde la fecha de descuento a la fecha de vencimiento i: Tipo aplicado a la operación o tanto de descuento expresado en tanto por uno.

43 Descuento comercial: Dc
UD 5 Descuento comercial: Dc Partimos del nominal del efecto. El nominal es la cifra que aparece en el documento que se va a descontar, en el pagaré. Si utilizamos la misma terminología que en la unidad anterior: Dc= Cn * n* i Cn = Dc n* i n = Dc Cn *i i = Dc Cn * n

44 Descuento comercial: Dc
UD 5 Descuento comercial: Dc

45 Descuento comercial: Dc
UD 5 Descuento comercial: Dc Actividades: Página 114 Actividades: de la 14 a la 19. Página

46 CAPITALES EQUIVALENTES
UD 5 CAPITALES EQUIVALENTES

47 Capitales equivalentes
UD 5 Capitales equivalentes El valor de un capital depende del momento en que se valore; Si lo estimamos en el momento actual, recibe el nombre de valor actual Si lo consideramos al final de la operación, se le denomina valor final. Capital Co C1 C2 C3 C4 C5 1 2 3 4 5 Tiempo Un mismo capital Co valorado en el momento 0 tiene diferente valor que en el momento 1, y así sucesivamente

48 Capitales equivalentes
UD 5 Capitales equivalentes Los capitales, que tienen diferente valor numérico, y sin embargo son el mismo en distintos momentos del tiempo. Esta equivalencia recibe el nombre de equivalencia financiera, es decir, desde el punto de vista financiero estamos hablando del mismo capital Ejemplo: desde un punto de vista financiero, 500 € de hoy son los mismo que 510 € dentro de un año, si esos 10 € de diferencia son los intereses.

49 UD 5 Suponiendo un capital de € a un 10% anual y representando el tiempo en años: Cn = Co (1+ n * i) C1 = 1000 (1+ 1 * 0,1) = 1100 C2 = 1000 (1+ 2 *0,1) = 1200 C3 = 1000 (1+ 3 *0,1) = 1300 C4 = 1000 (1+ 4 *0,1) = 1400 C5 = 1000 (1+ 5 *0,1) = 1500 Capital 1000 1100 1200 1300 1400 1 2 3 4 Tiempo

50 Capitales equivalentes
UD 5 Capitales equivalentes Cuando los valores actuales de uno o varios capitales son iguales a los valores actuales de otro u otros capitales, son entonces equivalentes financieramente. En el ejemplo, un capital de € dentro de cuatro años es equivalente a uno de € en el momento actual, En la práctica comercial, la equivalencia de capitales se utiliza frecuentemente pero no se sigue la regla del interés simple, sino del descuento comercial

51 Cn = Co Co = Cn (1- n x i) (1- n x i)
UD 5 Cn = Co Co = Cn (1- n x i) (1- n x i) C1 = = 1111,1 (1- 1 x 0.1) En la equivalencia financiera, es costumbre comercial la utilización de la regla del descuento comercial, en operaciones inferiores al año C2 = = 1250 (1- 2 x 0.1) C3 = = 1428,57 (1- 3 x 0.1) C4 = = 1666,6 (1- 4 x 0.1)

52 UD 5 Caso práctico 14. Un deudor nos propone que adelantemos el cobro de 3450 € que teníamos pendiente con él por otro financieramente equivalente. Al no haber inconveniente alguno, accedemos aceptando su oferta de aplicar un tipo del 8% anual. Haz los cálculos oportunos sabiendo que el vencimiento del efecto sería dentro de dos meses Co = ? Cn = 3450 n = 2 meses i = 0.08 Co = Cn (1- n x i) Cn = 3450 ( 1 – 2 x 0,08 ) = 3404 12

53 UD 5 Caso práctico 15. Halla el capital equivalente en el momento actual a otro de € que vence dentro de 120 días, Tipo aplicado 9% anual. Cn = 45000 n = 120 i = 0.09 Co = ? Co = Cn (1- n x i) Cn = ( 1 – 120 x 0,09 ) = ,49 365 43.668,49 45.000 120

54 Capitales equivalentes
UD 5 Vamos a suponer ahora que tenemos varios capitales con vencimiento futuro, por ejemplo: C1 = 1000 €, C2 = 3000 €, C3 = 2000 €, Con vencimiento a: n1 = 30 días, n2 = 60 días, n3 = 90 días, Y queremos sustituirlo por uno único que venza dentro de 45 días y al que se le aplique un tipo del 7 % anual

55 Capitales equivalentes
UD 5 Capitales equivalentes Si llamamos C1, C2 y C3 al valor de dichos capitales en el momento actual y C0 al valor actual del capital Cn que queremos calcular, entonces ha de ocurrir que: C0 = C1 + C2 + C3 Recordemos que para el calculo del valor actual en función del descuento comercial se aplica la fórmula: Co = Cn (1- n *i)

56 Capitales equivalentes
UD 5 Si añadimos los valores que corresponden según la primera expresión, resulta: Cn (1- n *i) = C1 (1- n1 *i) + C2 (1- n2 *i) + C3 (1- n3 *i) Si vamos agrupando la expresión para poder resolver el problema anterior, tenemos: Cn (1- n *i) = C1 - C1* n1 *i + C2 – C2 * n2 *i + C3 – C3* n3 *i Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)

57 Con los datos numéricos:
UD 5 Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3) Con los datos numéricos: Cn ( 1 – 45 x 0,07 ) = 1000 – 1000 x 30 x 0,07 + – 3000 * 60 * 0, – 2000 * 90 * 0,07 = 365 365 365 365 Cn 0, = 994, , ,47 Cn = 994, , ,47 0,

58 UD 5 Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3) Cn = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3) 1 – n * i Si se desea calcular n: Vencimiento común n = Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3) i * Cn n = C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3 Vencimiento medio Cn

59 Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
UD 5 Caso práctico nº 16 Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3) ? 1000 1200 30- sep 30-nov 31-oct 31-dic Dos capitales de 1200 y 1000 € con vencimiento respectivamente los días 31 de octubre y 30 de noviembre han de ser sustituidos por uno único con vencimiento el 31 de diciembre. ¿Cuál será el importe del capital que los sustituye, si el tipo es del 10% y la operación se acuerda el día 30 de septiembre?

60 UD 5 Tres capitales de 1.000, y € con vencimiento a los 30, 60 y 90 días respectivamente, queremos sustituirlos por un único capital que venza dentro de 45 días y aplicándole a dicha operación el 7% anual. ¿Cuál será dicha cuantía? Cj 1000 3000 2000 6000 nj 30 60 90 Cj*nj 30000 180000 390000 Y sustituimos.

61 Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3)
UD 5 Cn (1- n *i) = C1 + C2 + C3 – i( C1 * n1 *+ C2 * n2 + C3 * n3) 6000 – 0,07 * 365 = 5976,79 Cn = 1 – 45 * 0,07 365 Cn = 5976,79

62 Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3) n = i * Cn
UD 5 Realizar caso práctico 17. Página117 Calcula el vencimiento común de dos capitales de y € con vencimiento respectivamente los días 15 de marzo y 17 de abril, sabiendo que han de ser sustituidos por uno único de €, que el tipo aplicado a la operación es del 6% anual y que la misma se realiza el día 15 de enero. Cn – (C1 + C2 + C3) + i( C1 * n1 + C2 * n2 + C3 * n3) n = i * Cn Ci 15.000 35.000 30.000 Ni 59 92 Ci* ni

63 Realizar caso práctico 18. Página 118
UD 5 Cuando en el vencimiento común se da la circunstancia de que la suma de los capitales a sustituir es igual al capital que los sustituye, entonces se habla de vencimiento medio. Realizar caso práctico 18. Página 118

64 Realizar caso práctico 18. Página 118
UD 5 Realizar caso práctico 18. Página 118

65 UD 5

66 n = 4 de enero al 7 de abril = 93 días i = 0,06 Co = ?
UD 5 20. Al disponer de un efectivo de €, queremos saber si se puede adelantar el pago que tenemos que realizar de un efecto de € que vence el día 7 de abril. Se sabe que la operación se realiza el 4 de enero y que se aplica un tipo del 6 % anual. Cn = € n = 4 de enero al 7 de abril = 93 días i = 0,06 Co = ? Co = Cn (1 – n · i) Como Co = 4 450,90 € < €, sí, se puede pagar el efecto adelantándolo al 4 de enero.

67 n1 = 15 de marzo a 30 de abril = 46 días
UD 5 21. La empresa MU, S.A., que nos debe pagar tres letras los últimos días de abril, mayo y junio, y cuyo importe, igual para cada letra, asciende a €, desea sustituirlas por un único pago de 2 987,89 €. Si el tipo de que se aplica a la operación es de un 4 % y la fecha en que se formaliza la operación es el 15 de marzo, ¿en qué fecha se deberá de hacer el cobro? C1 = € C2 = € C3 = € Cn = 2 987,89 € n1 = 15 de marzo a 30 de abril = 46 días n2 = 15 de marzo a 31 de mayo = 77 días n3 = 15 de marzo a 30 de junio = 107 días i = 0,04 anual n = ?

68 UD 5 22. ¿Cuál fue el vencimiento medio de tres capitales de € con vencimiento a los 30, 60 y 90 días si se aplica un tipo del 9 % anual? C1 = € C2 = € C3 = € Cn = C1 + C2 + C3 = € n1 = 30 días n2 = 60 días n3 = 90 días n = ?

69 Actividades: 12- 13-14. Página 118
UD 5 Actividades: Página 118 Actividades: de la 20 a la 23. Página 124

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