Método de mínimos cuadrados Profesor: Lic. Gerardo Zavala Núñez Alumno: José Adrián Maldonado Mata Matricula: 12010096 Formulación y evaluación de Proyectos Administración de Empresas Universidad Mexicana en Línea 07 de febrero de 2104

Introducción Para conocer con cierta exactitud cambios futuros, no solo en la demanda, sino también de la oferta y los precios, se utilizan técnicas adecuadas para analizar el presente. Para ello se utilizan series de tiempo, ya que lo que se desea observar es el comportamiento de un fenómeno con respecto al tiempo. Existen cuatro patrones básicos de tendencia en el tiempo: Tendencia secular. Poca variación en largos períodos, su representación gráfica es una línea recta o curva suave. Esta es la más común para los fenómenos de estudios de mercado como demanda y oferta. Un método para calcular la tendencia de este tipos es el de mínimos cuadrados. Variación estacional. Surge por hábitos , tradiciones, o condiciones climatológicas. Movimientos irregulares. Surgen por cualquier causa aleatoria que afecta al fenómeno. Fluctuaciones cíclicas. Surgen principalmente por razones de tipo económico.

Método de mínimos cuadrados Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares ordenados: variable dependiente o independiente o una familia de funciones, se intenta encontrar la función, dentro de la familia, que mejor se aproxime a los datos ( un mejor ajuste), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático. Características Intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas entre los puntos generados por la función y los correspondientes en datos. Específicamente se llama mínimos cuadrados promedios (LMS por sus siglas en ingles) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere gran número de iteraciones para converger.

Método de mínimos cuadrados El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de datos presentados en un diagrama de dispersión se conoce como "el método de los mínimos cuadrados". La recta resultante presenta dos características importantes: 1. Es nula la suma de las desviaciones verticales de los puntos a partir de la recta de ajuste ∑ (Yｰ - Y) = 0. 2. Es mínima la suma de los cuadrados de dichas desviaciones. Ninguna otra recta daría una suma menor de las desviaciones elevadas al cuadrado ∑ (Yｰ - Y)² → 0 (mínima).

Función Distribución aleatoria de errores. Un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. Herramienta de comprobación. El teorema de Gauss-Markov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tienen que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. Visibilidad de variables. Los datos recabados tiene que estar bien escogidos para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resultas. Ajuste de curvas. La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

Procedimiento Consiste entonces en minimizar los residuos al cuadrado Ci² La obtención de los valores de a y b que minimizan esta función es un problema que se puede resolver recurriendo a la derivación parcial de la función en términos de a y b: llamemos G a la función que se va a minimizar:

Procedimiento Tomemos las derivadas parciales de G respecto de a y b que son las incógnitas y las igualamos a cero; de esta forma se obtienen dos ecuaciones llamadas ecuaciones normales del modelo que pueden ser resueltas por cualquier método ya sea igualación o matrices para obtener los valores de a y b.

Procedimiento Derivamos parcialmente la ecuación respecto de a Primera ecuación normal

Procedimiento Derivamos parcialmente la ecuación respecto de b Segunda ecuación normal

Procedimiento Los valores de a y b se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones resultante. Primera ecuación normal Segunda ecuación normal