LEY DEL SENO Y COSENO

Notación A Letras mayúsculas A, B y C, representan a los ángulos de un triángulo, y letras minúsculas a,b y c, representan los lados. b c C a B

Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, Ley de los senos Si ABC es un triángulo con lados a, b y c, B a C C b a c b A c B A

LEY DEL SENO La Ley del Seno relaciona 3 igualdades que siempre se cumplen entre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera.

Aplicaciones En el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes. C A B c a b

Solución: El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados. Por la ley de los senos tenemos que: a/Sen 49 = b/Sen 28.7 = c/Sen 102.3 Usando que b = 27.4 se obtiene, a = (27.4/Sen 28.7) Sen 49 = 43.06 mts. Y c = (27.4/Sen 28.7)Sen 102.3 = 55.75 mts.

Ejercicios: 1. Resuelve el triángulo oblicuángulo siguiente: b = 50, A = 57° 7’, C = 78° 28’. 2. La magnitud de la resultante de dos fuerzas de 115 kg y 215 kg es de 275 kg. Encuentra el ángulo formado por las direcciones de las dos componentes. No veas las respuestas hasta que estés seguro de tus resultados.

Respuestas a los ejercicios: Recuerda: No veas estas respuestas hasta que estés seguro de tus resultados. B = 44° 25’ , a = 60 , c = 70 .  = 109° 5’ 33’’

Sirve para resolver triángulos que NO son Rectángulos. LEY DEL COSENO Sirve para resolver triángulos que NO son Rectángulos. Permite encontrar el valor de un lado de un triángulo conociendo dos lado y el ángulo formado entre estos dos lados c² = a² + b² - 2a·b·cos α a² = b² + c² - 2b·c·cos β b² = a² + c² - 2a·c·cos φ

Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 m, b = 19 m., c=14 m. b=19 mts. C c=14 mts. A a=8 mts.

Por la ley de los cosenos tenemos que Solución. Por la ley de los cosenos tenemos que Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508. Como Cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados. Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues a/Sen A = b/Sen B, o bien Sen A = a(Sen B/b) = 0.37582. Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces, A=22.08 grados.

Revisión del estudio individual Dos nadadores se encuentran a 250 m uno de otro. Ambos están nadando hacia el mismo punto, que se halla a 423m del primero y a 360m del otro.¿Qué ángulo forman las direcciones de ambos? Rta/  = 36,8o

Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto Un barco está a 15 km directamente al sur de un puerto. Si el barco navega al nordeste 4,8 km,¿a qué distancia se encuentra del puerto? P PBC = 450 PB = 15 km C PC = ? BC = 4,8km B

Ejercicio 1 Las distancias que hay entre tres ciudades (A, B y C) colocadas en los vértices de un triángulo son AB = 165 km , AC = 72 km y BC = 185 km . La segunda está al Este de la primera y la tercera está al Norte de la recta que une a las dos primeras. ¿En qué dirección estará la tercera vista desde la primera? C N S E O NE NO SE SO 185 km 72 km  165 km A B

Ejercicio 2 NE NO SO SE 14 km 10 km 15 km Una ciudad está a 15 km al Este de otra. Una tercera ciudad a 10 km de la primera en dirección nordeste aproximadamente y a 14 km de la segunda en dirección noroeste aproximadamente. Halla la dirección exacta a que se encuentra la tercera ciudad respecto a cada una de las dos primeras. C N S E O NE NO SE SO 14 km 10 km  15 km A B