@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B1 Tema 3 * 4º ESO Opc B ECUACIONES Y SISTEMAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B2 Tema 3.1 * 4º ESO Opc B ECUACIONES DE PRIMERO Y SEGUNDO GRADO

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B3 ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B4 TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a Si en una desigualdad ( o inecuación) multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, el signo de la desigualdad cambia. - x < a  x > - a Ejemplo: Numéricamente:- 2 < 3  2 > - 3 Algebraicamente:- x < 2  x > - 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B5 EJEMPLOS 1.Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – =  x = 7 2.Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – = x  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE 3.Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – = x  x = x  INFINITAS SOLUCIONES

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B6 4.Resolver la ecuación: x --- – 2 = 6 3 Sumo 2 a ambos lados, quedando: x / 3 =  x / 3 = 8 Multiplico todo por 3, quedando: x = 3.8  x = 24 5.Resolver la ecuación: 2.x – 2 = x – 6 3 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – = x  12 = x

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B7 ECUACIÓN DE 2º GRADO ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO También llamada ecuación cuadrática. Es aquella que, tras pasar todo el segundo miembro de una igualdad al primero, el polinomio característico es de grado 2. Tiene la forma a.x 2 + b.x + c = 0 Donde a, b y c son números; y siempre a<>0 Pueden darse varios casos: CASO 1.-a = 0NO SERÍA ECUACIÓN CUADRÁTICA. CASO 2.-b = 0 y c = 0Solución única:x = 0 CASO 3.-b = 0a.x 2 + c = 0INCOMPLETA CASO 4.-c = 0a.x 2 + b.x = 0INCOMPLETA CASO 5.-b<>0, c<>0a.x 2 + b.x + c = 0COMPLETA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B8 SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO Las soluciones de una ecuación de segundo grado son los valores de x que al ser sustituidos verifican la ecuación. EJEMPLOS DE SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN Sea x x + 2 = 0 Si x = = 0  1 – = 0  0 = 0 x = 1 es una solución. Si x = = 0  4 – = 0  0 = 0 x = 2 es otra solución. Soluciones de una ecuación

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B9 EQUIVALENCIA DE ECUACIONES Dos ecuaciones de segundo grado son equivalentes si tienen exactamente las mismas soluciones. EJEMPLOS DE ECUACIÓN EQUIVALENTE Sea x x + 2 = 0 x = 1 y x = 2 son las dos soluciones de la ecuación. 3.x x + 6 = 0Es equivalente a la primera. 2.x x + 4 = 0Es equivalente a la primera. - 5.x x – 10 = 0Es equivalente a la primera. Y así miles de ellas.¿Cómo se hacen ecuaciones equivalentes? Antes de resolver una ecuación hay que simplificarla, transformarla en una ecuación equivalente. En general dividiendo todo entre el valor de a. Equivalencia de ecuaciones

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B10 ECUACIONES OBVIAS CASO 1 Tiene la forma b.x + c = 0 a = 0  NO son ecuaciones cuadráticas, son lineales. Ejemplos 4.x + 5 = 0  a = 0, b = 4, c = 5  E. LINEAL – 3.x + 1 = 0  a = 0, b = – 3, c = 1  E. LINEAL CASO 2 Tiene la forma a.x 2 = 0 Resolución: x 2 = 0/a  x 2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 Ejemplos 4.x 2 = 0 Resolución: x 2 = 0/4  x 2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0 – 5.x 2 = 0 Resolución: x 2 = 0/(– 5)  x 2 = 0  x = +/- √0 = 0  x = 0

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B11 ECUACIÓN INCOMPLETA CASO 3 Tiene la forma a.x 2 + c = 0 Resolución: Paso 1.- a.x 2 = - c Paso 2.- x 2 = - c / a Paso 3.- x = +/- √ (- c / a) Dándonos las dos raíces si existen. EJEMPLO 1 Sea x = 0 Resolución: x 2 = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2 x 1 = + 2 x 2 = - 2

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B12 EJEMPLO 2 Sea 2.x = 0 Resolución: Simplificamos: x 2 – 9 = 0  x 2 = 9  x = +/- √ 9 Dándonos las dos raíces: x 1 = + 3, x 2 = - 3 EJEMPLO 3 Sea 9.x = 0 Resolución: 9.x 2 = 16  x 2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9) Dándonos las dos raíces: x 1 = + 4/3, x 2 = - 4/3 EJEMPLO 4 Sea 5.x = 0 Resolución: Simplificamos: x 2 – 2 = 0  x 2 = 2  x = +/- √2 Dándonos las dos raíces: x 1 = + √2, x 2 = - √2 Nota: Aunque se puede emplear la fórmula ya conocida, para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas no es muy aconsejable.

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B13 CASO 4 Tiene la forma a.x 2 + b.x = 0 Resolución: Clave: Sacar factor común a x. Paso 1.- x. (a.x + b ) = 0 Paso 2.- x = 0 es un raíz Paso 3.- a.x + b = 0 de donde x = - b / a es otra raíz EJEMPLO 1 Sea 2.x x = 0 Resolución: 2.x. (x + 4 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 4 = 0  x = - 4 es la otra raíz x 1 = 0,, x 2 = - 4 ECUACIÓN INCOMPLETA

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO Opc B14 EJEMPLO 2 Sea x 2 + x = 0 x. (x + 1 ) = 0  x = 0 es una raíz x + 1 = 0  x = - 1 es otra raíz x 1 = 0 x 2 = - 1 EJEMPLO 3 Sea 4.x x = 0 x. (4.x – 3) = 0  x = 0 es una raíz 4.x – 3 = 0  4.x = 3  x = 3 / 4 es otra raíz x 1 = 0 x 2 = 3 / 4 = 0,75 EJEMPLO 4 Sea 3.x x = 0 x. (3.x - 8 ) = 0  x = 0 es una raíz 3.x - 8 = 0  3.x = 8  x = 8 / 3 es la otra raíz x 1 = 0 x 2 = 8 / 3