Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIONES Y SISTEMAS Tema 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Tema 2.4 * 1º BCT ECUACIONES POLINÓMICAS @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

ECUACIONES DE PRIMER GRADO Para resolver una ecuación de primer grado hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la incógnita. PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA: Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta a.x = b  a.x / a = b /a  x = b / a TERCER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA Si en una igualdad multiplicamos ( o dividimos ) por - 1 a ambos lados, la igualdad sigue siendo cierta. Ello equivale a cambiar todo de signo. - x = a  x = - a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Ejemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 2. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7 x – x = x + 7 – x  0 = 7  INCOMPATIBLE 3. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x  INFINITAS SOLUCIONES 4. Resolver la ecuación: (x / 3) – 2 = 6 x / 3 = 6 + 2  x / 3 = 8 x = 3.8  x = 24 5. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18 – 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIÓN DE 2º GRADO Tiene la forma a.x2 + b.x + c = 0 ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + c = 0 a.x2 = - c  x2 = - c / a  x = +/- √ (- c / a) EJEMPLO_1 Sea 9.x2 - 16 = 0 9.x2 = 16  x2 = 16 / 9  x = +/- √ (16 / 9)  x = 4 / 3 y x = - 4 / 3 EJEMPLO_2 Sea 5.x2 - 10 = 0 5.x2 = 10  x2 = 10 / 5 = 2  x = +/- √ 2  x = √ 2 y x = - √ 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA Tiene la forma a.x2 + b.x = 0 x . (a.x + b ) = 0  x = 0 es un raíz   a.x + b = 0  x = - b / a es otra raíz EJEMPLO_1 Sea 2.x2 + 8.x = 0 x . (2.x + 8 ) = 0  x = 0 es una raíz   2.x + 8 = 0  x = - 8 / 2 = - 4 es otra raíz EJEMPLO_2 Sea 2.x2 + √2.x = 0 x . (2.x + √2 ) = 0  x = 0 es una raíz   2.x + √2 = 0  x = - √2 / 2 es la otra raíz @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT Solución general de ecuaciones de segundo grado 1.‑ Restamos c a ambos términos: a.x2 + b.x = ‑c 2.‑ Multiplicamos por 4.a a todo: 4. a2 x2 + 4.a.b.x = ‑ 4.a.c 3.‑ Sumamos b2 a ambos términos: 4. a2 x2 + 4.a.b.x + b2 = b2 ‑ 4.a.c (2.a.x + b)2 = b2 ‑ 4.a.c 4.‑ Extraemos la raíz cuadrada: 2.a.x + b = +/- √ (b2 ‑ 4.a.c) 5.‑ Restamos b a los dos términos: 2.a.x = ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) 6.‑ Dividimos a ambos términos entre 2.a: ‑ b + √ (b2 ‑ 4.a.c) Con el + hallamos una x = ---‑-------‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑ raíz y con el ‑ la otra 2.a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 1 3.x2 - 5.x – 2 = 0  a = 3 ,, b = -5 ,, c = – 2 + 5 +/- √(25 + 24) (5 + 7)/6 = 12/6 = 2 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------‑---‑ = 6 (5 – 7)/6 = -2/6 = - 1/3 EJEMPLO 2 x2 - 5.x + 8 = 0  a = 1 ,, b = -5 ,, c = 8 + 5 +/- √(25 – 32) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-----‑------‑ = No hay raíces reales 2 EJEMPLO 3 9.x2 - 12.x + 4 = 0  a = 9 ,, b = -12 ,, c = 4 + 12 +/- √(144 – 144) 12/18 = 2/3 x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------‑---‑--- = 18 12/18 = 2/3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Sumando ambas: ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c)   ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x + x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑------- + ---------------------------------- = 1 2 2.a 2.a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) - 2.b - b = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑-------------------------------------- = ------- = ----- 2.a 2.a a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

PROPIEDADES DE LAS RAÍCES En CUALQUIER ecuación de segundo grado, se cumple siempre las siguientes propiedades : ‑ b c x + x = ‑‑‑‑‑ ; x . x = ‑‑‑‑‑ 1 2 a 1 2 a ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑--- ; x = -------------------------- 1 2.a 2 2.a Multiplicando ambas: [ ‑ b + √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] [  ‑ b - √ ( b2 ‑ 4.a.c) ] x . x = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------- . --------------------------------= 1 2 2.a 2.a (‑ b) 2 ‑ (√ ( b2 ‑ 4.a.c) ) 2 b 2 ‑ ( b 2 ‑ 4.a.c) 4.a.c c = ‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑‑----------------- = -------------------------- = -------- = ----- 4.a 2 4.a 2 4.a 2 a @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Ecuaciones BICUADRADAS ECUACIÓNES BICUADRADAS.‑ Son aquellas que, mediante un cambio de variable, se transforman en ecuaciones de segundo grado. Tiene la forma a.x4 + b. x2 + c = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: a.y2 + b. y + c = 0 , que es una ecuación de segundo grado. También tienen la forma a.x6 + b. x3 + c = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: IMPORTANTE: En ambos casos hay que deshacer el cambio, pues hay que hallar el valor de la variable x , no de la variable y. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO_1 Sea x4 - 13.x2 + 36 = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: y2 - 13. y + 36 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-13) +/- √[(-13)2 – 4.1.36] Resolviéndola: y = -------------------------------------- = 2.1 13 +/- √[169 – 144] 13 +/- √ 25 13 +/- 5 = ---------------------------- = ------------------ = -------------- = 9 y 4 2 2 2 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 9  x = +/- √ 9  x = +/- 3  x1 = 3 , x2 = -3 Si x2 = y = 4  x = +/- √ 4  x = +/- 2  x3 = 2 , x4 = -2 Que son las 4 raíces, ceros o soluciones de la ecuación dada. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO_2 Sea 3.x4 - 74.x2 - 25 = 0 Si hacemos x2 = y , tenemos que x4 = y2 quedando: 3.y2 - 74. y - 25 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-74) +/- √[(-74)2 – 4.3.(-25)] Resolviéndola: y = ----------------------------------------- = 2.3 74 +/- √[5476 + 300] 74 +/- √ 5776 74 +/- 76 = ---------------------------- = ---------------------- = -------------- = 25 y - 1 / 3 6 6 6 Deshacemos el cambio: Si x2 = y = 25  x = +/- √ 25  x = +/- 5  x1 = 5 , x2 = - 5 Si x2 = y = - 1/3  x = +/- √ - 1/3  x3 y x4 no son reales Que son las 4 raíces, dos reales y dos no reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT

Matemáticas 1º Bachillerato CT EJEMPLO 3 Sea x6 - 9.x3 + 8 = 0 Si hacemos x3 = y , tenemos que x6 = y2 quedando: y2 - 9. y + 8 = 0 , que es una ecuación de segundo grado. -(-9) +/- √[(-9)2 – 4.1.8] Resolviéndola: y = ---------------------------------- = 2.1 9 +/- √[81 – 32] 9 +/- √ 49 9 +/- 7 = ----------------------- = ------------------ = -------------- = 8 y 1 2 2 2 Deshacemos el cambio: 3 Si x3 = y = 8  x = √ 8  x = 2  x1 = 2 , x2 y x3 no reales Si x3 = y = 1  x = √ 1  x = 1  x4 = 1 , x5 y x6 no reales Que son las 6 soluciones de la ecuación dada, de ellas sólo 2 son reales. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT