EJE TEMATICO IV UNIDAD 6 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES MATEMÁTICA II - 2014 EJE TEMATICO IV UNIDAD 6 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Parte I: Funciones en R3 Parte II: Derivada Parcial Parte III: Optimización MSc. Prof. Graciela Gatica

Caso especial 2 var.indep. z=f(x,y) Parte I: Funciones en R3 Funciones de 1 variable indep. y=f(x) Funciones de varias var. independ: z = ƒ(x,y,t,r,…) Caso especial 2 var.indep. z=f(x,y) P(x,y) Domf x y ƒ -3 -2 -1 1 2 3 z

Representación Gráfica de Puntos en el Espacio Tridimensional R 3 -3 -2 -1 5 1 2 3 y -4 6 -7 8 x z P2 P0 P1 P3 P4

Representación Gráfica de Planos en el Espacio Tridimensional R 3 S0: x = 0 S1: y = 0 z z y y x x Plano yz Plano xz z S3: z = 3 z S2: z = 0 3 y y x x Plano paralelo al xy Plano xy

Representación Gráfica de Superficies z = ƒ (x,y) en R 3 Im ƒ (x1, y1) (x1, y1, ƒ(x1, y1)) x1 y1 z = ƒ (x , y) (x0, y0, ƒ(x0, y0)) (x0, y0) x0 y0 Dom ƒ ⊆ lR2

Curvas de Nivel de una superficie Las curvas de nivel de una superficie z=f(x,y) se obtienen intersectando dicha superficie con planos de ecuación z=k (k cte.) es decir: F(x,y) =k Características: Los puntos de una misma curva de nivel tienen el mismo valor de z. Las curvas de nivel no se intersectan entre sí, caso contrario un punto (x,y) del dominio tendría más de una imagen z .

Curvas de Nivel de una superficie Ejemplo: Obtener las curvas de nivel de z = x2 + y2 con planos z=k (k= 1, 4 , 9) x y z 3 2 1 4 5 6 7 8 9 z = x2 + y2 z = k z = 9 x2 + y2 =k z = 4 -3 -2 -1 1 2 3 y x x2 + y2 = 9 x2 + y2 = 4 x2 + y2= 1 z = 1

Aplicación a la función Costo Total: Líneas de Isocoste Cada línea de isocoste representa una combinación de insumos o factores para obtener un nivel determinado de producción a un MISMO COSTO; o sea, combinaciones de insumos con costos iguales Problema (Pág 121-guía): Empresario utiliza 2 medios de propaganda para promocionar sus productos a= cantidad de veces que aparece el aviso en el medio A. b= cantidad de veces que aparece el aviso en el medio B . PA= $600 (precio de c/aviso en el medio A) PB= $300 (precio de c/aviso en el medio B) Costo fijo por la confección del aviso=$3.500 Se pide:

Líneas de Isocoste 1º) Función Costo Total: 2º) curvas de nivel de la función Costo Total :

Líneas de Isocoste En el problema las curvas de nivel representan las combinaciones de cantidades a y b de avisos que se pueden hacer por un costo total determinado. En cada línea de isocoste los puntos (x,y) representan las combinaciones de las cantidades de cada insumo entre las cuales los empresarios pueden optar, con el mismo nivel de gasto. 10 a 20 30 40 50 60 70 80 b ℂ1 ℂ2 ℂ3 La pendiente de las rectas de isocoste es igual a la razón de los precios de los insumos con signo negativo: Cuanto mayor es el costo total, la línea isocoste correspondiente se encuentra más alejada del origen de coordenadas

Aplicación a la función Utilidad u(q1,q2): Curvas de Indiferencia Curva correspondiente a todas las combinaciones diferentes de cantidades q1,q2 para las cuáles el consumidor obtiene el mismo nivel de utilidad k. Las curvas de indiferencias son decrecientes pues si aumenta el consumo de un bien disminuye el del otro para mantener constante la utilidad. Al aumentar el valor de la función utilidad u , aumenta el nivel de satisfacción, las curvas se alejan del origen, aumentando las cantidades consumidas de ambos bienes. Las curvas de indiferencias son convexas respecto al origen de coordenadas. 1 2 3 4 q2 q1 k1 k2 k3 Hipérbolas equiláteras del Primer cuadrante

Curvas de Indiferencia Consideremos el caso simplificado en que las adquisiciones de un consumidor están limitadas a dos artículos: u = q1.q2 Para K1=1 Para K2=2 Para K3=4 Curvas de nivel: q1 . q2 =K 1 2 3 4 q2 q1 k1 k2 k3 Hipérbolas equiláteras del Primer cuadrante En c/ curva los pares (q1,q2) representan las combinaciones que proporcionan = grado de satisfacción al consumidor. Al aumentar u aumenta el nivel de satisfacción, las curvas se alejan del origen.

Aplicación a la función Producción q= q(x1,x2): Isocuantas Curva correspondiente a todos las combinaciones de insumos variables x1 y x2 que proporcionan un mismo nivel de producción P0 La función de producción: q = q ( x1, x2 ) Consideramos un proceso de producción en el que intervienen dos insumos variables x1 y x2 y el resto de los insumos fijos. Estas curvas de nivel representan distintos niveles de producción. Son convexas respecto al origen. Cuanta más distancia existe entre el origen de coordenadas y la isocuanta, mayor es el producto que representa. Se considera intervalo relevante de la curva aquel donde la pendiente es negativa, puesto que el intervalo de pendiente positiva indica un aumento en las cantidades de ambos insumos para el mismo nivel de producción. x2 x1 Zona de Producción o Intervalo relevante

Parte II: Derivadas parciales FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE Parte II: Derivadas parciales

Derivadas parciales Sea z = ƒ (x , y) una función de 2 variables independientes, podemos obtener en cada punto P0: la derivada parcial de z con respecto a x en P0 la derivada parcial de z con respecto a y en P0

Funciones Compuestas Cálculo de derivadas parciales. Reglas b) Funciones Compuestas A) En z = ƒ ( x , y ) las variables x e y a su vez dependen de otra x = x ( t ) y = y ( t ) e z x t y t z = ƒ ( x , y ) = ƒ ( x( t ) , y( t ) ) = F( t ) Derivada parcial de z con respecto a la variable x o y. Derivada total de z con respecto a la variable t.

Funciones Compuestas B) En z = ƒ ( x , y ) las variables x e y dependen de dos variables u y v: x = x ( u , v) z = ƒ [ x ( u , v ), y ( u , v ) ] = F( u , v ) y = y ( u , v) z tiene 2 derivadas parciales que se obtienen así: z y x u v ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 4 )

Reglas Práctica para Calcular las Derivadas de Funciones Compuestas Esquema que parte de la variable dependiente de la función compuesta, de ella parten tantas flechas como variables independientes tenga, y de cada una de éstas hacemos lo mismo: Todas las flechas terminan en una misma variable: Las flechas terminan en más de una variable: Derivada Total: z depende de una sola variable: v Derivada Parcial: z depende de dos variables: t y v ( 2 ) u t z y x v ( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) y z x v u ( 1 ) ( 2 ) t ( 3 ) ( 4 )

Derivadas Sucesivas para Funciones de dos Variables Independientes Sea z = ƒ(x ,y) una función de dos variables, obtenemos dos derivadas parciales y podemos volver a derivar cada una de ellas obteniendo las derivadas parciales segundas: ∂ x ∂ x ∂ 2 z = ∂ x 2 ∂ 2 z derivada parcial segunda de z respecto a x dos veces. ∂ x ∂ z ∂ x ∂ y ∂ 2 z derivada parcial segunda de z respecto a x y a y (derivada parcial cruzada) ∂ y 2 ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z ∂ y ∂ y = derivada parcial segunda de z respecto a y y a x. (derivada parcial cruzada) derivada parcial segunda de z respecto a y dos veces

Propiedad : conmutabilidad de las derivadas segundas cruzadas Derivadas Sucesivas para Funciones de dos Variables Independientes Estas derivadas parciales segundas a su vez también son funciones de x e y, entonces las podemos volver a derivar obteniendo las derivadas parciales terceras: ∂ x ∂ y ∂ x ∂ 3 z ∂ y2 ∂ x ∂ 3 z ∂ x 3 ∂ 3 z ∂ y ∂ x2 ∂ 3 z ∂ y 2 ∂ 2 z ∂ x 2 ∂ 2 z ∂ x ∂ y ∂ 2 z ∂ y ∂ x ∂ 2 z ∂ y 3 ∂ 3 z ∂ x2 ∂ y ∂ 3 z ∂ x ∂ y2 ∂ 3 z ∂ y ∂ x ∂ y ∂ 3 z Propiedad : conmutabilidad de las derivadas segundas cruzadas Si las derivadas parciales de z son continuas entonces las derivadas parciales segundas cruzadas son iguales

PARTE III OPTIMIZACION DE FUNCIONES DE MÁS DE UNA VARIABLE

Máximo Absoluto La función z= ƒ (x , y) presenta un máximo absoluto en el punto P0 = ( x0 , y0 ) ∈ Domf si y solo si para cualquier punto (x,y) del Domf se cumple que: ƒ(x0 , y0) > ƒ (x , y) x y z πz Ty Tx (x0 , y0 ,ƒ ( x0 , y0 ) ) z = ƒ ( x , y ) A = Dom ƒ P0 x0 y0

Mínimo Absoluto La función z= ƒ(x ,y) presenta un mínimo absoluto en el punto P0 = ( x0 , y0 ) del Domf si y solo si para cualquier punto (x , y) del Domf se cumple que: ƒ (x0 , y0) < ƒ (x , y) x z y z = ƒ ( x , y ) Ty Tx πz (x0 , y0 ,ƒ ( x0 , y0 ) ) A = Dom ƒ x0 y0 P0

Máximos y Mínimos Relativos El punto P0 = (x0,y0) ∈ E (P ; ઠ) entorno de P, radio delta P0 es un mínimo relativo de f si cumple: ƒ (x0 ,y0)<ƒ (x,y) para todo punto de E P0 es un máximo relativo de f si cumple: ƒ (x0 ,y0)>ƒ (x,y) para todo punto de E P z = ƒ ( x , y ) z P z z = ƒ ( x , y ) P P y y x x A = Dom ƒ A = Dom ƒ E (P ; ઠ) E (P ; ઠ) P máximo relativo P mínimo relativo

Puntos de Inflexión - Punto de Ensilladura cambio de concavidad de la curva x y z z = ƒ ( x , y ) z P4 P5 z0 Ty P1 P0 y0 Tx P3 y P2 x0 x P1 punto de ensilladura P1 máximo en curva que une P2 P3 P1 mínimo en curva que une P4 P5 f en P1 no presenta ni máximo ni mínimo P0 es punto de inflexión

6.5.3.Determinación de Extremos (2 variables indep.) C. Necesaria: Si f presenta un extremo en P0 entonces C. Suficiente: Signo del Hessiano (determinante calculado en el punto Po)

Ejemplo: Determinar los extremos ( con 2 var. indep.) C.N.: resolver el sistema: Obtenemos los puntos críticos: C.S.: signo del Hessiano No hay extremo en (0,0) Hay mínimo en Y el valor mínimo de la función es

Determinación de extremos (con 3 var. indep.) C.N.: resolver el sistema: C. S. Para 3 variables independientes analizamos el Hessiano de orden 3 y de sus menores H1 y H2)

6.5.4. Generalización de CN y CS para funciones de n variables independientes C.N.: las derivadas parciales de 1º orden en P0 deben ser nulas C.S.: Se expresa a través del Hessiano de orden n y sus menores principales H1, H2, ..,Hn.

6.5.4. Generalización de CN y CS para funciones de n variables independientes. Conclusiones: f presenta un máximo en P0 si todos los menores principales alternan su signo siendo H1 negativo. Es decir: f presenta un mínimo en P0 si todos los menores principales son positivos. Es decir: f presenta un punto de inflexión en P0 si H2 es negativo o cero. Es decir:

Problema de Aplicación: Extremos libres Ejemplo 10: C(q1,q2,q3 ) es dato. p1=12, p2=18 y p3=24 los precios de los bienes q1, q2 y q3 Determinar q1, q2 y q3 para lograr el Beneficio máximo. C ( q1 , q2 , q3 ) = 2q12 + q1 . q2 + 2q22 + 3q32 + 4 I ( q1 , q2 , q3 ) = p1 . q1 + p2 . q2 + p3 . q3 = 12 q1 + 18 q2 + 24 q3 ℬ ( q1 , q2 , q3 ) = 12 q1 + 18 q2 + 24 q3 - 2q12 - q1 . q2 - 2q22 - 3q32 - 4 C.N.: ∴ P0 = ( q1 , q2 , q3 ) = (2, 4, 4) ℬq1 = ℬ1 = 12 - 4q1 - q2 = 0 ( 1 ) ( 2 ) ℬ (P0) = 92 ℬq2= ℬ2 = 18 - q1 - 4q2 = 0 ( 3 ) ℬq3 = ℬ3 = 24 - 6q3 = 0

Problema de Aplicación: Extremos Libres Ejemplo 10 C.S.: Hessiano de orden 3 y sus menores principales H1, H2 y H3 (ver 6.5.4) Conclusión: Como los menores del Hessiano alternan sus signos comenzando por H1 negativo, H2>0 y H3<0, el Beneficio es MÁXIMO para 2 unidades producidas de q1 , 4 de q2 y 4 de q3,, y alcanza a $ 92 su valor mayor.

Extremos condicionados restricción ഴ (x , y) x y z z = ƒ ( x , y ) Máximo libre P0 P1 Máximo restringido Dom ƒ MAXIMO LIBRE: mayor valor que toma la función sobre todo su dominio MÁXIMO RESTRINGIDO: mayor valor que toma la función sobre la curva de intersección entre superficies z=f(x,y) y la restricción ഴ (x , y)

6.5.5. Extremos condicionados Para determinar los extremos de una superficie z=f(x,y) que está condicionada a la función (x,y)=0 utilizamos el Método de los multiplicadores de Lagrange Función auxiliar: Función Restricción: C.N. de extremos: Resolvemos el sistema

6.5.5. Extremos condicionados C.S.: construimos el Hessiano ampliado Conclusión:

Ejemplo 11: Maximización de la utilidad con restricción presupuestaria - Aplicación Extremos condicionados C.N.extremos:

Extremos Condicionados (Ej. 11 continúa)

Ejemplo 11: (continúa) C.S.: calcular las derivadas segundas para obtener el Hessiano ampliado Conclusión: La Utilidad es Máxima para 8 unidades consumidas de x1, 14 de x2 , con un gasto total de $60 como establece la restricción y un nivel de Utilidad de $ 128.

Fin Unidad 6- Eje Temático IV Fin de la Asignatura MATEMÁTICA II - 2014 La cátedra les desea muchos éxitos !! Prof. Titular: MSc. Graciela Gatica de Aldalla Prof. Adjunta: Lic. Flavia Zalazar Jefe de T. Prácticos: Lic. Carina Murciano Ayudante: Matías Silva