ESPAD III * DÍA 12 ECUACIONES LINEALES

ECUACIONES Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica ( es verdad) para algunos valores de la variable. EJEMPLOS ¿Para qué valores de x se verifican las ecuaciones siguientes?: x = 3  Solución: Si x = 3 x – 1 = 4  Solución: Si x = 5 2.x + 1 = 5  Solución: Si x = 2 x2 = 9  Solución: Si x = 3 y si x = – 3 x3 = – 8  Solución: Si x = – 2

ECUACIONES Los miembros de una ecuación son cada una de las expresiones algebraicas que hay antes y después del signo igual. El de la izquierda se llama primer miembro y el de la derecha segundo miembro. EJEMPLOS ¿Cuál es el primer y segundo miembro de las ecuaciones siguientes?: Ecuación Primer miembro Segundo miembro x + 5 = 3 x + 5 3 – 1 + 2.x = x – 3 – 1 + 2.x x – 3 x2 – 4 = 0 x2 – 4 0

ECUACIONES La incógnita de una ecuación es la variable o cantidad desconocida. Una raíz o solución de una ecuación es el valor de la incógnita que verifica la ecuación. Resolver una ecuación es hallar el valor o valores de la incógnita para los cuales se verifica la ecuación. EJEMPLOS ¿Cuáles son las raíces o soluciones de las ecuaciones siguientes?: 3.x – 3 = 9  Solución: x = 4 x2 = 4  Solución: x = 2 y si x = – 2 x3 – 8 = 0  Solución: x = 2

ECUACIONES Comprobar una ecuación es sustituir la raíz en la ecuación y comprobar que en el primer miembro se obtiene el mismo resultado que en el segundo. EJEMPLOS ¿Cuáles de los siguientes números: 1 , – 2, 3 , – 5 son solución de la ecuación siguiente: 2.x – 5 = 3 + 6.x ?: Ecuación Primer miembro Segundo miembro 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.1 – 5 = – 3 3 + 6.1 = 9  El 1 no 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.(– 2) – 5 = – 9 3 + 6.(– 2)= – 9  El – 2 sí 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.3 – 5 = 1 3 + 6.3 = 21  El 3 no 2.x – 5 = 3 + 6.x 2.(– 5)– 5 = – 15 3 + 6.(– 5) = – 27  El –5 no

ECUACIONES EQUIVALENTES Las ecuaciones de primer grado son aquellas igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la unidad. Ejemplos: x + 1 = 2 ; x + y = 3 ; 3.x – 2 = 4 – 5.y Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma solución. Ejemplo: x + 1 = 2 es equivalente a x – 1 = 0 Ejemplo: 2x + 1 = x es equivalente a x = – 1 Ejemplo: 3x – 3 = 27 es equivalente a x = 10 Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación equivalente que tenga en uno de sus lados únicamente la INCÓGNITA. Ejemplo: x + 1 = 2 es equivalente a x = 1 Eso se llama DESPEJAR.

REGLA DE LA SUMA Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a Numéricamente: x – 3 = 7  x – 3 + 3 = 7 + 3  x = 7 + 3 x + a = b  x + a – a = b – a  x = b – a x + 3 = 7  x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 7 – 3

Ejemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 x = 5 + 2  x = 7 O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita, pasa al otro lado sumando. 2. Resolver la ecuación: x +3 = 7 x = 7 – 3  x = 4 O sea, el 3 que estaba sumando a la incógnita, pasa al otro lado restando.

3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 Cuando hay varios términos con “x”, se pasan todas las “x” a un lado y los demás términos al otro. x – x = 5 + 2  0 = 7 Esta igualdad resultante es imposible. La ecuación es INCOMPATIBLE

4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS SOLUCIONES 5. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 6 + x 2.x – x = 6 + 2  x = 8 x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.

REGLA DEL PRODUCTO Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x x a.x --- = b  a. --- = a. b  ------ = a.b  x = a.b a a a Numéricamente: x x 3.x --- = 4  3. --- = 3. 4  ------ = 3.4  x = 12 3 3 3

a.x = b  -------- = ----  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 9 Ejemplo: a.x b a.x = b  -------- = ----  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 9 3.x = 9  -------- = ----  x = 9 / 3 = 3 3 3 Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible, salvo que sea decimal exacto. x = 2 Bien x = 3 / 2 = 1,5 Bien x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto. x = 2 / 3 Bien

Ejemplos 6. Resolver la ecuación: 2.x = 6 x = 6 / 2  x = 3 O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado dividiendo. 7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5 x = 5.3  x = 15 O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado multiplicando.

8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4 Las x deben quedar todas a un mismo lado. ¿Dónde?. Mejor donde queden positivas. – 2 – 4 = 5.x – 2.x  – 6 = 3.x – 6 / 3 = x  – 2 = x O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego 2.x que estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que estaba multiplicando ha pasado dividiendo.

9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 2.x 2.x 3 3 2.x = 3.(x – 4)  2.x = 3.x – 12  12 = 3.x – 2.x  12 = x MUY IMPORTANTE: Se podía haber multiplicado primero todo por 3 (Regla del producto) y luego separar los términos en x de los números (Regla de la suma).

10 Resolver la ecuación: 2 – (3.x / 2) = x – 6 3.x – 3.x 2 2 – 3.x = 2.(x – 8 )  – 3 = 2.x – 16 16 = 2.x + 3.x  16 = 5.x 16 ---- = x  3,2 = x 5 Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.