Relaciones Binarias de equivalencia y de orden y Aplicaciones

Relaciones Binarias de Equivalencia Llamamos relación binaria en un conjunto A, a todo subconjunto R del producto cartesiano AxA. Si el par (a,b)ϵR diremos que a esta relacionado con b, o aRb. Una relación binaria en un conjunto a se dirá de equivalencia si verifica las siguientes propiedades: * REFLEXIVA: aRa, Ʉ aϵA * SIMETRICA: aRb → bRa * TRANSITIVA: aRb y bRc → aRc Una relación de equivalencia en un conjunto A establece una partición del conjunto en subconjuntos a los que llamamos clases de equivalencia. El conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia se denomina conjunto cociente. Recordamos que una colección de subconjuntos {Ai}i=1....n del conjunto A es una partición de A si verifica: * Ai ≠ø Ʉi=1...n * A1UA2....UAn=A * Ai∩Aj =ø para todo i≠j

Ejemplo de Relación de Equivalencia Sea el conjunto A de la figura: Definimos la relación R sobre A: aRb ↔ tienen el mismo nº de lados. Se ve que aRa, aRc, cRc, cRa, bRb, bRd, dRd, dRb, eRe Claramente verifica las siguientes propiedades: * REFLEXIVA: aRa, Ʉ aϵA, porque toda figura tiene el mismo nº de lados que si misma * SIMETRICA: aRb → bRa, porque si a tiene el mismo nº de lados que b, entonces b tiene el mismo nº de lados que a. * TRANSITIVA: aRb y bRc → aRc. Claramente. Por lo tanto la relación R es una relación binaria de equivalencia. A/R={{a,c},{b,d},{e}} es el conjunto cociente a d e c b

Relaciones Binarias de Orden Una relación binaria en un conjunto a se dirá de orden si verifica las siguientes propiedades: * REFLEXIVA: aRa, Ʉ aϵA * ANTISIMETRICA: aRb y bRa → a=b * TRANSITIVA: aRb y bRc → aRc En una relación de orden, si aRb o bRa diremos que a y b son comparables. Si en una relación de orden R en un conjunto A todos los elementos de A son comparables, diremos que R es una relación de orden total, y que a esta totalmente ordenado por R. En caso contrario diremos que la relación es de orden parcial y a esta parcialmente ordenado. Por ejemplo sea R la relación definida sobre el conjunto de los números naturales: a R b ↔ b es divisor de a. Esta relación es de orden parcial porque por ejemplo el 3 y el 5 no son comparables ya que ni el 3 es divisor de 5 ni el 5 es divisor de 3. Sin embargo la relación R definida sobre el conjunto de los números naturales: a R b ↔ b es mayor o igual que a, es de orden total porque todos los numeros naturales son comparables ya que o a es mayor o igua que b, o b es mayor o igual que a.

Correspondencias Dados los conjuntos A y B no vacios, se llama correspondencia entre A y B, a toda operación, ley, norma o criterio que asocia los elementos de A con los elementos de B. Si en una correspondencia entre A y B al elemento aϵA se le asigna un elemento bϵB, al elemento a lo llamamos origen y a b imagen de a. Las correspondencias en las que los elementos de A tienen a lo más una imagen se llaman unívocas. Las correspondencias unívocas en las que los elementos de B reciben a los mas una flecha de A, se llaman biunívocas. En una correspondencia establecida entre A y B, f: A→B, el conjunto A se llama conjunto de partida y el conjunto B, conjunto de llegada. El conjunto formado por todos los elementos de a de los que sale una flecha se llama conjunto origen y el de los elementos de B al que les llega alguna flecha se llama conjunto imagen. Llamamos grafo de la correspondencia f entre dos conjuntos AxB formado por todos los pares ordenados de elementos asociados. G(f).

Aplicaciones Una correspondencia f de A en B se llama aplicación cuando es llena, a todo elemento de A le corresponde un elemento de B, y unívoca, de todos los elementos de A sale una uníca flecha. Una aplicación se llama inyectiva si todos los elementos distintos del conjunto origen tienen también imágenes diferentes. Es decir a ningún elemento de B le llega mas de una flecha. n(A)≤n(B) Una aplicación se llama sobreyectiva, exhaustiva o suprayectiva si el conjunto imagen coincide con el conjunto de llegada. Es decir a todos los elementos de B les llega alguna flecha y pueden ser varias. n(B)≤n(A) Una aplicación se llama biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. n(A)=n(B)

Ejercicios de examen 1. En una bolsa hay 15 golosinas: 6 son caramelos, 4 tienen sabor de fresa y 9 son caramelos o tienen sabor de fresa. Proponer una colección de golosinas. En ella, definir una relación binaria de equivalencia, comprobando las propiedades que cumple dicha relación y demostrar que se ha realizado a su vez, una partición. 2. Sea N el conjunto de los números naturales, A={2,3,4,5} y B={Ʉ x/ xϵN y 2<x≤6} Se establecen las correspondencias: f: A→ B g: B → N x→x+1 x → 2x Estudiar si f y g son o no aplicaciones. En caso afirmativo, explicar de que tipo son y por qué.

Ejercicios de examen 3. Dado el conjunto C representado en la figura: a) Define en él una relación binaria R que sea de equivalencia y comprueba qué propiedades cumple y cuáles no. b) A continuación define otra relación que permita una ordenación de clases, y comprueba las propiedades que cumple.

Ejercicios de examen 4. Se dispone de un conjunto E de cuerdas de longitudes largas, medianas y cortas, de colores blanco, negro y gris, y de dos tipos de material: de plástico y de hilo. Se consideran los conjuntos: A={cuerdas negras}, B={cuerdas de plástico} y C={cuerdas de longitud mediana}. a) Construir una relación de equivalencia sobre el conjunto de cuerdas, justificando las propiedades e indicando las clases resultantes. b) Construir una relación de orden sobre el mismo conjunto anterior, justificando las propiedades y señalando el tipo de orden que es. 5. Las correspondencias y relaciones binarias son conceptos prenuméricos que como tales se deben trabajar en Educación Infantil: a) Expresa la diferencia entre ellas. b) Describe lo que, en esencia, diferencia a las correspondencias cualitativas de las cuantitativas.

Ejercicios de examen 6. Comprobar si es una relación de orden y especificar de que tipo. A={a,b,c,d,e} y R={(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,b),(b,c),(b,d),(b,e),(c,c),(c,d),(c,e),(d,d)(d,e),(e,e)}. 7. Comprobar si es una relación de equivalencia: A={1,2,3,4} y R={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,4),(4,3),(3,3),(4,4)}. 8. Estudia que tipo de relación es R: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} R: a R b ↔ a- b es múltiplo de 3 9. Estudia que tipo de relación es R: R: a R b ↔ a- b es divisor de 3 10. Estudia que tipo de relación es R: A={2,3,4,5,6,7,8,9} R: a R b ↔ a es múltiplo de b

Fin