BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL TEMA 2.7 * 2º BCT @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

BASES DE UN ESPACIO VECTORIAL Sea V un espacio vectorial y sea B un subconjunto de vectores de V. Diremos que B es una base de V si cumple dos condiciones: B es linealmente independiente. B es un sistema generador de V. EJEMPLO x1= (1, 1, 0), x2 = (0, 1, 1), x3 = (1, 0, 1) Miramos si son linealmente independientes: λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 = 0 λ1.(1,1,0) + λ2.(0,1,1) + λ3.(1,0,1) = 0 (λ1, λ1 ,0) + (0,λ2, λ2) + (λ3 ,0,λ3) = 0 λ1 + λ3 = 0, λ1 + λ2 = 0 , λ2 + λ3 = 0 Al resolver el sistema sólo resulta la solución trivial: λ1 = λ2 = λ3 = 0, por lo que el subconjunto B es linealmente independiente. …  @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. …  EJEMPLO B= { x1= (1, 1, 0), x2 = (0, 1, 1), x3 = (1, 0, 1) } Miramos si es un sistema generador. Sea (x, y, z) un vector cualquiera perteneciente al espacio vectorial V. Se debe cumplir: (x, y, z) = λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 (x, y, z) = λ1.(1,1,0) + λ2.(0,1,1) + λ3.(1,0,1) (x, y, z) = (λ1, λ1 ,0) + (0,λ2, λ2) + (λ3 ,0,λ3) λ1 + λ3 = x, λ1 + λ2 = y , λ2 + λ3 = z Como λ1 = x – λ2 resulta: x – λ2 + λ3 = y λ2 + λ3 = z Sumando ambas ecuaciones: λ3 = (y + z – x) / 2 Restando ambas ecuaciones: λ2 = (x – y + z) / 2 Y finalmente obtengo: λ1 = x – λ2 = (x + y – z) / 2 Luego siempre existen unos escalares λ1, λ2, λ3 que me generan cualquier vector de V. B es pues un sistema generador. Al cumplirse las dos condiciones, B es una base de V. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. TEOREMA DE LAS BASES TEOREMA Si B=(x1, x2, ….xn) es una base del espacio vectorial V, cualquier vector de V se expresa de forma única como combinación lineal de los vectores de B. v = λ1.x1 + λ2.x2 + λ3.x3 + … + λn.xn COORDENADAS DE UN VECTOR EN UNA BASE. Sea B={x1, x2, ….xn } una base de V y k Є R. Sea v un vector cualquiera del espacio vectorial V. Entonces: v = x1 .k1 + x2 .k2 + …. + xn .kn donde k1, k2, ….kn son las coordenadas del vector v respecto a B. Propiedades 1.- Las coordenadas de un vector en una base son únicas. 2.- Un vector tiene tantas coordenadas como la dimensión del espacio. 3.- En el espacio vectorial Rn la base: x1 = (1, 0,…, 0) , x2 = (0, 1, …, 0) , … , xn = (0,0, …, 1) se llama base canónica. @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

SUBESPACIOS VECTORIALES Sea V un espacio vectorial real y sea W un subconjunto de vectores de V. Se dice que W es un subespacio vectorial de V si es, a su vez, un espacio vectorial real. TEOREMA 1 Sea V un espacio vectorial real y sea W un subconjunto de vectores de V. Entonces W es un subespacio vectorial de V si se verifica que: Para cualquier u, v Є W  u+v Є W. Para cualquier u Є W y k Є R  k.u Є W. TEOREMA 2 Si V un espacio vectorial real y sea W un subconjunto de vectores de V, diremos que W es un subespacio vectorial de V si, y sólo si, para cualquier α , β Є R y u, v Є W , se cumple que: α.u + β.v Є W @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.

Apuntes 2º Bachillerato C.T. RANGO DE UN SISTEMA DEFINICIÓN DE RANGO DE UN SISTEMA DE VECTORES. Es el máximo número de vectores linealmente independientes de S. Teorema de la base incompleta Sea V un espacio vectorial de dimensión n y E un subespacio vectorial de V de dimensión m. Si B = { c1, c2, ….cm ) es una base de E se puede encontrar una base B’ de E ampliando la de E, es decir B’ = { c1, c2, ….cm , x1, x2, ….xn – m } @ Angel Prieto Benito Apuntes 2º Bachillerato C.T.