El valor absoluto de un número nunca es negativo = 𝟎 8 = 𝟖 𝒂 𝒂>𝟎 𝒂 𝟎 𝒂=𝟎 3 = 𝟑 = −𝒂 𝒂<𝟎 −5 = − (−𝟓) = 𝟓 −3 = − (−𝟑) = 𝟑 𝑥 =𝟕 ¿Qué valor es x? 𝒙=𝟕 ó 𝒙=−𝟕 𝒙=𝟕 ∨ 𝒙=−𝟕 𝑥 =𝟏𝟔 ¿Qué valor es x? 𝒙=𝟏𝟔 ó 𝒙=−𝟏𝟔 𝒙=𝟏𝟔 ∨ 𝒙=−𝟏𝟔 𝑥 =−𝟗 ¿Qué valor es x? ∄ Un número que cumpla la igualdad Resolver: 𝑥+3 =8 3𝑥−7 =6 2𝑥−6 =0 𝒙+𝟑=𝟖 ∨ 𝒙+𝟑=−𝟖 𝟑𝒙−𝟕=𝟔 ∨ 𝟑𝒙−𝟕=−𝟔 𝟐𝒙−𝟔=𝟎 𝟑𝒙=𝟔 +𝟕 𝒙=𝟑 𝒙=𝟓 ∨ 𝒙=−𝟏𝟏 𝟑𝒙=−𝟔 +𝟕 𝟑𝒙=𝟏𝟑 𝟑𝒙=𝟏 𝒙= { 𝟓, −𝟏𝟏 } 𝒙= 𝟏 𝟑 𝟏𝟑 𝟑 , 𝟏 𝟑 𝒙= 𝟏𝟑 𝟑 ∨ 𝒙= { }

𝑥 2 +8𝑥+7 =16 8𝑥+2 =2𝑥−6 𝟐𝒙−𝟔≥𝟎 𝑥 2 +8𝑥+7=16 ∨ 𝑥 2 +8𝑥+7=−16 8𝑥+2=2𝑥−6 ∨ 8𝑥+2=−2𝑥+6 𝑥 2 +8𝑥+7−16=0 𝑥 2 +8𝑥+7+16=0 8𝑥 −2𝑥 =−6 −2 8𝑥 +2𝑥= 6 −2 𝑥 2 +8𝑥−9=0 𝑥 2 +8𝑥+23=0 6𝑥=−8 10𝑥=4 (𝑥+ ) 2 4 − 16 −9=0 (𝑥+ ) 2 4 − 16 +23=0 𝑥=− 8 6 𝑥= 4 10 (𝑥+4) 2 −25=0 (𝑥+4) 2 +7=0 𝟐𝒙−𝟔≥𝟎 (𝑥+4 + 5) (𝑥+4 − 5) ∄ real (𝑥+9) 𝑥−1 =0 − 3 + 𝑥=−9 𝑥=1 [ 3,+∞ > ¿Las respuestas pertenecen a la condición? Al no pertenecer ninguna respuesta, entonces el sistema no tiene solución

𝑥−3 =2𝑥+1 TEOREMA 2𝑥+1≥0 𝑥−3=2𝑥+1 ∨ 𝑥−3=−2𝑥−1 𝒂 =𝒃 𝑥 −2𝑥 = 1 +3 𝑥 +2𝑥 = −1 +3 −𝑥=4 3𝑥=2 𝑠𝑖 𝑏≥0 ⇒ 𝑎=𝑏 ∨ 𝑎=−𝑏 𝑥=−4 𝑥= 2 3 PROPIEDADES − − 1 2 + 𝟏.− −𝒂 = 𝒂 𝟐.− 𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟐 = 𝒂 𝟐 𝒙= 𝟐 𝟑 Rpta: 𝟑.− 𝒂.𝒃 = 𝒂 𝒃 𝟒.− 𝒂 𝒃 = 𝒂 𝒃

𝟒𝒙−𝟕 =𝟏𝟎 𝟑𝒙+𝟐 =𝒙+𝟏 𝟒𝒙−𝟕=𝟏𝟎 ∨ 𝟒𝒙−𝟕=−𝟏𝟎 𝒙+𝟏≥𝟎 𝟑𝒙+𝟐=𝒙+𝟏 ∨ 𝟑𝒙+𝟐=−𝒙−𝟏 𝟒𝒙 = 𝟏𝟎 +𝟕 𝟒𝒙 =−𝟏𝟎 +𝟕 𝟑𝒙 −𝒙 =𝟏 −𝟐 𝟑𝒙 +𝒙 =−𝟏 −𝟐 𝟒𝒙=−𝟑 𝟒𝒙=𝟏𝟕 𝟐𝒙=−𝟏 𝟒𝒙=−𝟑 𝒙=− 𝟑 𝟒 𝒙= 𝟏𝟕 𝟒 𝒙=− 𝟏 𝟐 𝒙=− 𝟑 𝟒 ∨ − −𝟏 + Rpta: 𝒙={− 𝟏 𝟐 ,− 𝟑 𝟒 } 𝒙+𝟑 = 𝒙−𝟐 +𝒙+𝟏 { 𝒙+𝟑 } 𝟐 = { 𝒙−𝟐 +𝒙+𝟏} 𝟐 𝒙−𝟐 = {𝒙+𝟑} 𝟐 − 𝒙−𝟐 𝟐 − {𝒙+𝟏} 𝟐 𝟐 𝒙+𝟏 {𝒙+𝟑} 𝟐 = { 𝒙−𝟐 } 𝟐 +𝟐 𝒙−𝟐 𝒙+𝟏 + {𝒙+𝟏} 𝟐 {𝒙+𝟑} 𝟐 = {𝒙−𝟐} 𝟐 +𝟐 𝒙−𝟐 𝒙+𝟏 + {𝒙+𝟏} 𝟐 𝒙−𝟐 = 𝟒+𝟖𝒙− 𝒙 𝟐 𝟐(𝒙+𝟏) {𝒙+𝟑} 𝟐 − {𝒙−𝟐} 𝟐 − {𝒙+𝟏} 𝟐 =𝟐 𝒙−𝟐 𝒙+𝟏

Estos valores se llaman puntos críticos 𝒙+𝟑 = 𝒙−𝟐 +𝒙+𝟏 Estos valores se llaman puntos críticos ① Observe solo los valores absolutos 𝒙+𝟑 𝒙−𝟐 ② Para que cada valor absoluto sea cero 𝑥=−𝟑 𝑦 𝑥=𝟐 ③ Ordene en la recta los valores hallados y trabaje con los intervalos que se forman −∞ +∞ 1 𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 −3 2 𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 2 3 𝑒𝑟 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 <−∞,−𝟑> [−𝟑,𝟐> [𝟐,+∞> Observe que hay una secuencia de intervalos que unidos dan todo ℝ ④ El ejercicio: 𝑥+3 = 𝑥−2 +𝑥+1 se va a analizar en cada intervalo Elija cualquier número de cada intervalo pero nunca los puntos críticos Ud. decide el valor, le recomiendo tome valores pequeños <−∞,−𝟑> ¿𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 −4 ó −5? [−𝟑,𝟐> ¿𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 0 ó 1? [𝟐,+∞> ¿𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 4 ó 100?

𝑥+3 = 𝑥−2 +𝑥+1 <−∞,−𝟑> Tomemos por ejemplo 𝑥=−4 y reemplace en cada valor absoluto. 𝒙+𝟑 = −𝟒+𝟑 = 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 ⇒ 𝒙+𝟑 =−𝒙−𝟑 𝒙−𝟐 = −𝟒−𝟐 = 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 ⇒ 𝒙−𝟐 =−𝒙+𝟐 En este intervalo el ejercicio se reescribe: −𝒙−𝟑 =−𝒙+𝟐 +𝒙+𝟏 𝑨𝒉𝒐𝒓𝒂 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒂𝒃𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒐 −𝒙 +𝒙 −𝒙 =𝟐 +𝟏 +𝟑 −𝒙=𝟔 𝒙=−𝟔 ¿ −6 pertenece al intervalo? 𝑺í ⇒ 𝒙=−𝟔 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 Este es el proceso a seguir para cada intervalo, al final todas las respuestas se unen.

𝑥+3 = 𝑥−2 +𝑥+1 [−𝟑,𝟐> Tomemos por ejemplo 𝑥=0 y reemplace en cada valor absoluto. 𝒙+𝟑 = 𝟎+𝟑 = 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 ⇒ 𝒙+𝟑 =𝒙+𝟑 𝒙−𝟐 = 𝟎−𝟐 = 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 ⇒ 𝒙−𝟐 =−𝒙+𝟐 En este intervalo el ejercicio se reescribe: 𝒙+𝟑 =−𝒙+𝟐 +𝒙+𝟏 𝒙 +𝒙 −𝒙 =𝟐 +𝟏 −𝟑 𝒙=𝟎 ¿ 0 pertenece al intervalo? Sí ⇒ 𝒙=𝟎 𝑬𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 [𝟐,+∞> Tomemos por ejemplo 𝑥=3 y reemplace en cada valor absoluto. 𝒙+𝟑 = 𝟑+𝟑 = 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 ⇒ 𝒙+𝟑 =𝒙+𝟑 𝒙−𝟐 = 𝟑−𝟐 = 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 ⇒ 𝒙−𝟐 =𝒙−𝟐 En este intervalo el ejercicio se reescribe: 𝒙+𝟑 =𝒙−𝟐 +𝒙+𝟏 𝒙 −𝒙 −𝒙 =−𝟐 +𝟏 −𝟑 −𝒙=−𝟒 ¿ 4 pertenece al intervalo? 𝑺í ⇒ 𝒙=𝟒 𝒆𝒔 𝑹𝒑𝒕𝒂. 𝒙=𝟒

La respuesta al ejercicio: 𝒙+𝟑 = 𝒙−𝟐 +𝒙+𝟏 𝒙=−𝟔 𝒙=𝟎 𝒙=𝟒 Ud. ha observado un procedimiento paso a paso, para cuando haga un ejercicio, es muy rápido; porque habrá varios pasos que serán mentales.