@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 EXTREMOS RELATIVOS y CRECIMIENTO Bloque III * Tema 124

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 INTERVALO Y ENTORNO Sea un intervalo cerrado [a, b] en R. Representa el conjunto de valores tales que a ≤ x ≤ b Sea un intervalo abierto (a, b) en R. Representa el conjunto de valores tales que a < x < b Sea el entorno cerrado E[a, r] en R. Representa el conjunto de valores tales que (a – r) ≤ x ≤ (a + r) Sea el entorno abierto E(a, r) en R. Representa el conjunto de valores tales que (a – r) < x < (a + r) El intervalo [-2, 2] representa lo mismo que el entorno E[0, 2]. El intervalo (-1, 5] representa lo mismo que el entorno E(2, 3). Cuando lo que interesa de una función es su comportamiento en las cercanías de un punto de su dominio se emplea el entorno. ENTORNO DE UN PUNTO

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Sea una función f(x) definida en el entorno de un punto x=a. f(x) es creciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). f(x) es decreciente en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple: f(a) > f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la derecha de a (x < a). f(a) < f(x) en todo punto x de dicho entorno situado a la izquierda de a (x > a). EXTREMOS RELATIVOS f(x) tiene un máximo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple f(a) ≥ f(x). f(x) tiene un mínimo relativo en x=a si existe un entorno de a para el que se cumple f(a) ≤ f(x) EXTREMOS RELATIVOS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a+r) f(a) f(a-r) f(b-r) f(b) f(b+r) En x=a la función es creciente En x=b la función es decreciente

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a) f(a-r) f(a+r) f(b-r)=f(b+r) f(b) En x=a la función tiene un máximo relativo. En x=b la función tiene un mínimo relativo Max(a,f(a)) Min(b,f(b))

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO Si una función es creciente en un entorno de un punto x=a, la recta tangente en el punto (a, f(a)) presenta una pendiente positiva. Conclusión: Si f ’(a) > 0 entonces en x=a la función es creciente. Si una función es decreciente en un entorno de un punto x=a, la recta tangente en el punto (a, f(a)) presenta una pendiente negativa. Conclusión: Si f ’(a) < 0 entonces en x=a la función es decreciente. EXTREMOS RELATIVOS Si una función presenta un máximo o un mínimo relativo en un entorno de un punto x=a, la recta tangente en el punto (a, f(a)) presenta una pendiente nula (m=0). Conclusión: Si f ’(a) = 0 entonces en x=a la función presenta un máximo o un mínimo relativo. EXTREMOS Y DERIVADAS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a+r) f(a) f(a-r) f(b-r) f(b) f(b+r) En x=a la función es creciente En x=b la función es decreciente

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 Gráfico 0 a-r a a+r b-r b b+r f(a) f(a-r) f(a+r) f(b-r)=f(b+r) f(b) En x=a la función tiene un máximo relativo. En x=b la función tiene un mínimo relativo Max(a,f(a)) Min(b,f(b))

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 EJEMPLO 1 Hallar los máximos y mínimos relativos de la función: y = 2.x x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x x – 12 La igualamos a cero: 6.x x – 12 = 0 Simplificamos: x 2 + x – 2 =0 Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 En x = -2 habrá un máximo o un mínimo relativo. En x = 1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Normalmente si en uno de los puntos hay un máximo en el otro hay un mínimo. Para determinar si es máximo o mínimo estudiaremos su entorno. Ejemplos

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS Teníamos la función: y = 2.x x 2 – 12.x – 5 En x=1 f(1)= – 12 – 5 = - 12 f(0,9) = 2.0, ,9 2 – 12.0,9 – 5 = = - 11,92 f(1,1) = 2.1, ,1 2 – 12.1,1 – 5 = = - 11,908 Luego en x=1 hay un MÍNIMO RELATIVO En x= - 2 F(-2)= – 5 = 36 – 21 = 15 f(-1,9) = - 2.1, , ,9 – 5 = 14,912 f(-2,1) = 2.(-2,1) (-2,1) 2 – 12.(-2,1) – 5 = 14,908 Luego en x=-2 hay un MÁXIMO RELATIVO Mín(1, - 12) Máx(-2, 15)

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 EJEMPLO 2 Sea la función, ya empleada: y = 2.x x 2 – 12.x – 5 Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x x – 12 Simplificamos: y ‘ = 6.(x 2 + x – 2 ) Resolvemos la ecuación: x = - 2 y x = 1 son las raíces de y ‘ Factorizamos: y ‘ = 6.( x + 2).(x – 1) Los intervalos a estudiar son: (-oo, -2), (-2, 1) y (1, +oo) En ( - oo, -2)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. En ( - 2, 1)  y ` < 0  Pendiente negativa  Función Decreciente. En ( 1, + oo)  y ` > 0  Pendiente positiva  Función Creciente. Ejemplos

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12 EJEMPLO 3 Sea la función: y = x / (x – 1) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = 1 la función presenta una asíntota vertical. Hallamos su derivada: y ‘ = [1.(x – 1)– 1.x] / (x – 1) 2 Simplificamos: y ‘ = - 1 / (x – 1) 2 Como y’ no puede ser 0, la función no presenta máx. ni mín. Intervalos: En ( - oo, 1)  y ` (0) = - 1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 1, + oo)  y `(2) = -1 < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Ejemplos

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS13 EJEMPLO 4 Sea la función: y = 2 / (x 2 – 4) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento. En x = -2 y en x=2 la función presenta asíntotas verticales. Hallamos su derivada: y ‘ = [0.(x 2 – 4)– 2.2x] / (x 2 – 4) 2 Simplificamos: y ‘ = - 4x / (x 2 – 4) 2 Hacemos y’ = 0  x = 0 En x = 0 la función presenta un máximo o un mínimo. Intervalos: En ( - oo, -2)  y ` (-3) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( -2, 0)  y ` (-1) = > 0  Pendiente positiva  Creciente. En ( 0, 2)  y ` (1) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. En ( 2, + oo)  y ` (3) = < 0  Pendiente negativa  Decreciente. Ejemplos

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS14 Si en lugar de pedirnos la derivada de la función en x = a, nos dan dicho valor y nos piden la abscisa, se procede así: Se halla la expresión f ’(x) Se resuelve la ecuación f ’(x) = k EJEMPLO Sea la función, ya empleada: y = 2.x x 2 – 12.x – 5 ¿Para qué valor de x la pendiente de la recta tangente valdrá m=2? Hallamos su derivada: y ‘ = 6.x x – 12 Resolvemos la ecuación: 2 = 6.x x – 12  6.x x – 14 = 0  3.x x – 7 = 0  x = [ - 3 +/- √(9 + 84)] / 6 = 1,11 y - 2,11 En x = -2,11 y en x = 1,11 la pendiente de la tangente vale m=2. Obtención de abscisas para f ‘(x)=k

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS15 EJEMPLO Hallar el valor de a para que el máximo de la función y = – 2.x x + a valga 8. Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un máximo su pendiente es nula. y`= - 4x + 4 = 0  x = 1 es la abscisa donde está el máximo. 8 = – a  a = – 4  a = 6 EJEMPLO Hallar el valor de a y b para que la función y = x 3 + a.x 2 + b.x + 1 tenga un mínimo en el punto P(2, - 15) Derivamos e igualamos a cero, pues al ser un mínimo su pendiente es nula. y`= 3.x a.x +b = 0  x = 2 es una de las dos soluciones a+b = 0  b = – 4.a – 12 se debe cumplir. Sustituyendo en la función: – 15 = a (– 4.a – 12) – 15 = a – 8.a –  4.a = 0  a = 0  b = – 12