5.2 Cálculo Diferencial e Integral de Una Variable. Análisis de funciones.

Habilidades Determina monotonía, extremos locales, intervalos de concavidad, puntos de inflexión en gráficas de funciones. Obtiene información necesaria para graficar una función. Grafica funciones analizando todos sus elementos. Identifica las formas indeterminadas. Calcula límites aplicando la regla de L’Hospital. 2 2

Análisis de funciones Teorema Si f ’(x)=0 para todo x en un intervalo ]a, b[ entonces f es constante en ]a, b[. Corolario Si f’(x)=g’(x) para todo x en un intervalo ]a, b[ entonces f - g es constante en ]a, b[. Es decir f(x) = g(x) + C, donde C es constante.

Prueba creciente - decreciente Si f ’(x)>0 para todo x en un intervalo ]a, b[ entonces f es creciente en ]a, b[. Si f ’(x)<0 para todo x en un intervalo ]a, b[ entonces f es decreciente en ]a, b[. Ejemplo 1. Pág. 287

Prueba de la primera derivada Sea f continua y c un número crítico de f Si f’ cambia de positiva a negativa en c entonces f tiene un máximo local en c. Si f’ cambia de negativa a positiva en c entonces f tiene un mínimo local en c. Si f’ no cambia de signo en c entonces f no tiene máximo ni mínimo locales en c. y x c a. y x c b. y x c c. Ejemplos 2 y 3. Pág. 289

Concavidad de la gráfica de una función Si la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo Si la gráfica de f está por debajo de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en ese intervalo

Prueba de concavidad y Si para toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I x y x Si para toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I

Punto de inflexión Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si se cumplen las tres condiciones siguientes: La curva es continua en P 1 La curva posee una única recta tangente en P 2 La curva cambia de concavidad a ambos lados de P. 3 P y x y x P y x P P y x

Prueba de la segunda derivada Sea f ” continua en una vecindad de c. Si y Si y entonces f tiene un máximo local en c ) ( = ¢ c f entonces f tiene un mínimo local en c y x c y x c Ejemplo 6. Pág. 292.

Ejemplo Determine (si existe) las asíntotas verticales y horizontales de la función

Formas Indeterminadas. Las formas indeterminadas aparecen al tratar de hallar límites mediante las leyes usuales de suma, resta, producto, cociente y potencia. Las más comunes son:

Regla de L’Hospital Se utiliza cuando aparecen las formas indeterminadas Teorema Si f y g son derivables, cerca de a y si ó entonces: siempre que el segundo límite exista o sea ó

Notas 1. La regla de L’Hospital afirma que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas, siempre que se satisfagan las condiciones dadas. x y y=m1(x-a) y=m2(x-a) f g a 2. La regla de L’Hospital también es valida para los límites laterales y los límites en el infinito:

Productos indeterminados. Esta clase de límite se llama forma indeterminada de tipo 0∞ Se transforma el producto f.g en cociente, es decir: Esto convierte el límite dado en una forma indeterminada del tipo

Diferencias indeterminadas. Esta clase de límite se llama forma indeterminada de tipo ∞ - ∞ Intente convertir la diferencia en un cociente (por ejemplo, usando un denominador común, racionalizando ó factorizando un factor común) de modo que aparezca una forma indeterminada

Potencias indeterminadas. 1. tipo 2. tipo 3. tipo Cada uno de estos tres casos se pueden tratar tomando el logarítmo natural:

Bibliografía “Cálculo de una variable” Sexta edición James Stewart Ejercicio 4.3. Pág. 296. Ejercicios 45 y 50 Ejercicios 4.4 – Pág. 304. Ejercicios: 2, 6, 10, 12, 19, 22, 37, 40, 46, 48, 49, 52, 56 y 60