Proyecto de Matemáticas: Funciones Presentado por: Jonathan Guberek Daniel Croitoru Mark Guberek Presentado a: Patricia Caceres COLEGIO COLOMBO HEBREO AREA DE MATEMATICA Bogota D.C Mayo 2010 Continuación

Continuación GENERALIDADES Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. No es una función cuando: De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica, numérica y verbal. Continuación

Continuación Punto de corte con Y Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0. Punto de corte con X Para hallarlo se reemplaza Y por 0 en la ecuación. Dominio El dominio de una función está formado por todos los elementos que tienen imagen. D = {x / f (x)} Rango Se denomina rango o recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x). Continuación

Continuación Función Inyectiva En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o mas elementos con la misma imágen. Continuación

Continuación Función Sobreyectiva Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X. Continuación

Continuación Función Biyectiva Función dada cuando, se cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva. Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva. Continuación

Continuación Función Par Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que f(x)=f(-X) Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x4 + 2 Continuación

f(x) = x4 + 2 corte con y 2 minimo relativo (0,2) eje de simetria x=0 d=reales r= (2,00= cs= reales cll reales Continuación

Continuación Función Impar Función en la que todo x perteneciente al dominio Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x3 Continuación

f(x) = x3 d= reales r=reales cs=reales cll=reales corte con x= 0 corte con y=0 Continuación

Función trigonométrica Racional Función a Trozos Valor Absoluto Polinómica Clases de funciones. Logarítmica Exponencial Función trigonométrica

Función Polinomica. Función de Grado impar. Función de Grado par. Constante. Función lineal. Función Cuadrática. Función Cubica. MAPA CLASES FUNCIONES

Funciones Lineales Generalidades Lineal Afín Idéntica MAPA POLINÓMICAS Mapa lineales

Función lineal Generalidades Y= variable dependiente X= variable independiente M=pendiente (grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal) B= punto de corte con el eje y. Punto de corte con x Dominio=reales Conjunto de Salida= Reales Rango=Reales(con excepción a la función constante) Conjunto de llegada= Reales Continuación

Si , m > 0 la función es creciente. Si m < 0 la función es decreciente. Si m=0 la función es constante (recta horizontal). Ecuación para hallar la pendiente: Mapa lineales

Continuación Función lineal Afín Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y, y hace el desplazamiento vertical. El punto de corte con y es distinto a 0 Continuación

EJEMPLO Y=5x+5 Dominio: Reales Rango: Reales corte con x= -1 Conjunto Salida: Reales corte con y= 5 Conjunto llegada: Reales Pendiente=5 Mapa lineales

Continuación Función lineal Es una función cuya ecuación matemática es: Y=mx Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical . Continuación

EJEMPLO Y=5x Dominio=Reales Conjunto Salida= Reales Rango= Reales Conjunto Llegada= Reales Corte con x= 0 Corte con y=0 Mapa lineales

Función lineal idéntica Es una función expresada con la fórmula: Y=x Donde y adquiere el mismo valor que x. La pendiente es igual a 1. Continuación

EJEMPLO Dominio=Reales Rango=Reales CS=Reales CLL=Reales Mapa lineales

Función lineal constante Y=a Siendo a cualquier número. No tiene una pendiente por lo que su rango siempre va a ser a. Su corte con y es igual al a. Continuación

EJEMPLO MAPA POLINÓMICAS Y=4 Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4 Rango={4} Conjunto Llegada=Reales MAPA POLINÓMICAS

Función Polinómica Generalidades Según su grado se pueden clasificar como: Grado Nombre Expresión función constante y = a 1 función lineal y = ax + b (Binomio, 1er Grado) 2 función cuadrática y = ax² + bx + c (Trinomio, 3er Grado) 3 función cúbica Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R

Función Polinómica cuadrática Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente. Donde a no se puede ser igual a 0 Continuación

Su representación gráfica, representaría una parábola vertical Siendo a negativo, estaría hacia abajo. Siendo a positivo, estaría hacia arriba. Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0 Corte con el eje X, al reemplazar la f(x) o Y por 0. El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo del signo de a. Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo Continuación

Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo. Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo o máximo relativo hasta infinito Continuación

Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Cs=reales corte con x=-1 Cll=reales mínimo relativo x=-1 D=reales Creciente en=(-1,infinito) R=reales positivos Decreciente en=(- infinito, -1) MAPA POLINÓMICAS

Función Polinómica cúbica Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación: Y=ax3+bx2+cx+d Donde a,b,c,d son números reales Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene un maximo elemento elevado a la tres o al cubo Continuación

Corte con x= -1 Corte con y= 1 Cll= reales Cs= reales D= reales R=reales MAPA POLINÓMICAS

Continuación Función Grado Par Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es par Si todos los terminos son de grado par, la funcion es simetrica con respecto al eje X Se rigen según la ecuación: Continuación

Corte con y =2 No tiene corte con x Vértice (0,2) Dominio= reales Rango=(2,00) Cs=reales Cll=reales MAPA POLINÓMICAS

Continuación Función Grado Impar Es el tipo de función que se rige según la condición de que: El mayor grado de la función es impar. Se rigen según la ecuación: Continuación

Dominio =cs=reales rango =cll=reales corte en x≈2 corte con y=3 es creciente en(-00,3)u(2.9,00) es decreciente en(3,2.9) MAPA POLINÓMICAS

Función Valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. 4 Representamos la función resultante. Continuación

Continuación Gráfica Su dominio, CS y CLL son Reales. Decreciente si a<1 Creciente si a>1 El valor absoluto  de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. Su dominio, CS y CLL son Reales. Su rango depende de hacia donde se desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito. Continuación

Y=|x| Punto corte con x= 0 Punto corte con y= 0 Dominio=Cs=Cll= Reales Rango= (infinito, 0) Decreciente en= (-infinito,0) Creciente en= (0, infinito) MAPA CLASES FUNCIONES

Continuación Función racional La función racional es una función matemática expresada de la forma Donde p , q son polinomios , x es una variable desconocida Q≠0 Su dominio consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Continuación

Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal, es decir, tienen excepciones, estas excepciones son números en los ejes "x" e "y" que no se pueden usar para reemplazar la variable "x" en la función racional. Todas sus funciones racionales es de clase infinita, es decir, que su grafica, al igual que sus soluciones, no tienen final. Continuación

Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y. Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. Para determinar cuando es mayor o menor que 0, se realiza el proceso del cementerio. Continuación

Corte con x= 3 Corte con y= 3 Asintota en y=1 D=cs=reales Rango= reales-(1) Cll=reales creciente MAPA CLASES FUNCIONES

Continuación Función exponencial La función exponencial es del tipo: Y= ax Sea a un número real positivo. Y= ax se llamaría función exponencial de base a y exponente x. a no puede ser ni menor que 0 ni igual a 1. ya que siendo 1, sería constante. La función exponencial natural es la que tiene como base a e, que es igual a 2.2. Continuación

Dominio=cs=reales cll=reales rango=(1,00) asintota x=1 creciente corte en y=2 MAPA CLASES FUNCIONES

Continuación Función Logarítmica Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == logax Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. También cumpliría que Se llama logaritmo común al logaritmo en base 10. Se llama logaritmo natural al que tiene como base a e=2.2 Continuación

Continuación Propiedades logarítmicas: 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero. 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números. 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. Para cambiar de base se utiliza la fórmula Continuación

Creciente dominio=cs=reales positivos cll=reales rango=reales asintota x=0 corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES

Continuación Función a Trozos En matemáticas, una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos distintos de su dominio o subdominios. Su definición varía según los intervalos que se tomen en cuenta. Se dividen en función mantisa y función signo. Continuación

Continuación Función Mantisa La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es: mant (x) = x - [x] Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes números serán: mant(20,918) = 0,918 mant(27,465) = 0,465 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, 1) Conjunto de llegada= IR Continuación

Función signo Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x). Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}. f(x)= Si x<1 Si x=1 Si x>1 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= {-1; 0; 1) Conjunto de llegada= IR MAPA CLASES FUNCIONES

Función trigonométrica Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos. Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Existen seis tipos de funciones trigonométricas: La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente: Continuación

La función de la cotangente se define como el inverso multiplicativo de la tangente. La función secante se define como el inverso multiplicativo del coseno La función cosecante se define como el inverso multiplicativo del seno: Gráfica

Graficas de todas las funciones trigonométricas cosecante cotangente seno tangente coseno secante MAPA CLASES FUNCIONES

Seno Dominio=Cll=Reales Cs= Reales R= [-1,1] Pto corte con y=0 Pto corte con x=πn

coseno Dominio=Cs=Reales Cll= Reales Rango= [-1,1] Pto corte con Y=1 Pto corte con X=

tangente Rango=Cll=Reales Cs= Reales Pto corte con y=0 Pto corte con x= πn Dominio

cotangente Dominio= Cs= Cll=Reales R= Reales Pto corte con y=No hay Pto corte con x=

cosecante Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada= IR Rango= (IR – (-1,1)) Asíntotas en x=n π Punto de corte con x no tiene Punto de corte con y no tiene

secante Conjunto de salida=Dominio=IR Conjunto de llegada= IR Rango= (IR – (-1,1)) Asíntotas en x= π/2(2n-1) Punto de corte con x no tiene Punto de corte con y = 1

Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_lineal http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/05/definicion.html http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_constante http://www.mitecnologico.com/Main/Funciones http://cnx.org/content/m12960/latest/#eq_rf http://www.vitutor.com/fun/2/c_13.html

Bibliografía http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_cuadr%C3%A1tica http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva http://www.amschool.edu.sv/paes/f8.htm http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_trigonom%C3%A9trica http://es.wikipedia.org/wiki/Tangente_(trigonometr%C3%ADa)