Aplicaciones de la derivación OPTIMIZACIÓN Aplicaciones de la derivación

¿Cómo determino puntos críticos? Máximos y Mínimos ¿Cómo determino puntos críticos? Despejando de la primera derivada=0 𝑓 𝑥 =4𝑥 3 −10𝑥+4 𝑓 ′ 𝑥 =12 𝑥 2 −10 12 𝑥 2 −10=0 𝑥=± 5 6 𝑥 2 = 10 12 ¿Cuál es Máximo y cuál es Mínimo? Identificando en el gráfico de f(x) Reemplazando valores en f(x) 𝑥=− 5 6 Máximo 𝑓 𝑥 =4𝑥 3 −10𝑥+4 𝑓 𝑥 =4( 5 6 ) 3 −10( 5 6 )+4=-2,08 𝑓 𝑥 =4(− 5 6 ) 3 −10(− 5 6 )+4=10,08 ( 5 6 ,-2,08) (− 5 6 ,10,08) Máximo Mínimo Mínimo 𝑥= 5 6

¿Cómo determino puntos críticos? Máximos y Mínimos ¿Cómo determino puntos críticos? 2. Factorizando de la primera derivada=0 𝑓 𝑥 =4𝑥 3 − 9𝑥 2 −12𝑥+10 6𝑥−12=0 𝑥=2 𝑓´ 𝑥 =12𝑥 2 −18𝑥−12 12 𝑥 2 −18𝑥−12=0 2𝑥+1=0 𝑥= − 1 2 6𝑥−12 2𝑥+1 =0 ¿Cuál es Máximo y cuál es Mínimo? Identificando en el gráfico de f(x) Reemplazando valores en f(x) 𝑥=− 1 2 𝑓 𝑥 =4𝑥 3 −9 𝑥 2 −12𝑥+10 Máximo 𝑓 𝑥 =4(2) 3 −9 2 2 −12 2 +10=−18 𝑓 𝑥 =4(− 1 2 ) 3 −9 − 1 2 2 −12 − 1 2 +10=13,25 ( − 1 2 ,13,25) (2,−18) Mínimo Máximo Mínimo 𝑥= 2

¿Cómo determino puntos críticos? Máximos y Mínimos ¿Cómo determino puntos críticos? 3. Aplicando cuadrática de la primera derivada=0 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 + 9 𝑥 2 + 12𝑥 + 24 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑓′ 𝑥 =6 𝑥 2 + 18𝑥 + 12 𝑥=−1 −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 −18± 18 2 −4(6)(12 ) 2(6) 𝑥=−2 ¿Cuál es Máximo y cuál es Mínimo? Identificando en el gráfico de f(x) Reemplazando valores en f(x) 𝑥=−2 f x =2 𝑥 3 + 9 𝑥 2 + 12𝑥 + 24 Máximo 𝑓 𝑥 =2(−1) 3 −9 −1 2 +12 −1 +24=19 𝑓 𝑥 =2(−2) 3 −9 −2 2 +12 −2 +24=20 (−2,20) (−1,19) Mínimo Máximo Mínimo 𝑥=−1

¿Cómo determino puntos críticos? Máximos y Mínimos ¿Cómo determino puntos críticos? Criterio de la Segunda Derivada 𝑓 ′′ 𝑥 >0 Mínimo 𝑓 ′′ 𝑥 <0 Máximo Ejemplo: 𝑓 𝑥 = 1 3 𝑥 3 + 𝑥 2 −3𝑥 Criterio Primera Derivada para Puntos Críticos 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑥 2 +2𝑥−3 𝑥 2 +2𝑥−3=0 (𝑥+3)(𝑥−1)=0 𝑥=−3 𝑥=1 Criterio Segunda Derivada para Máximos y Mínimos 𝑓 ′′ 𝑥 =2𝑥+2 2 1 +2=4>0 Mínimo 2 −3 +2=−4<0 Máximo

¿Cómo determino puntos críticos? Máximos y Mínimos ¿Cómo determino puntos críticos? Criterio de la Segunda Derivada 𝑓 ′′ 𝑥 >0 Mínimo 𝑓 ′′ 𝑥 <0 Máximo Utilizando el Criterio de la Segunda Derivada, determinar puntos críticos en: X5PTS PROX QUIZ Máximo: 𝑥=−3 Mínimo: 𝑥= 1 3 =0,333 𝑓 𝑥 =2 𝑥 3 +8 𝑥 2 −6𝑥+3 X5PTS PROX QUIZ Máximo: 𝑥=− 5 4 =−1,25 Mínimo: 𝑥= 2 9 =0,2222 𝑓 𝑥 =12 𝑥 3 + 37 2 𝑥 2 −10𝑥+6

¿Cómo determino puntos críticos? Máximos y Mínimos ¿Cómo determino puntos críticos? Criterio de la Segunda Derivada 𝑓 ′′ 𝑥 >0 Mínimo 𝑓 ′′ 𝑥 <0 Máximo Utilizando el Criterio de la Segunda Derivada, determinar puntos críticos en: X5PTS PROX QUIZ Máximo: 𝑥= − 2 3 =−0,666 Mínimo: 𝑥= 1 3 =0,333 𝑓 𝑥 =6 𝑥 3 +3 𝑥 2 −4𝑥+4 X5PTS PROX QUIZ Máximo: 𝑥=−1 Mínimo: 𝑥=1 𝑓 𝑥 = 20 3 𝑥 3 −20𝑥+20