CÓNICAS

SUPERFICIE CÓNICA CORTES CON PLANOS Al girar una recta g (generatriz) alrededor de otra no paralela a ella e (eje) obtenemos una superficie cónica. e Si una superficie cónica se corta por planos en diferentes posiciones, se obtienen las curvas que se llaman cónicas: Elipse Circunferencia Hipérbola g Parábola

CÓNICAS

UN POCO DE HISTORIA Cuando en el siglo III a. de C. Apolonio descubrió las cónicas, estaba muy lejos de imaginar que dichas curvas se ajustaban a los movimientos de los cuerpos celestes. Durante muchos siglos se consideró que las órbitas de los planetas eran circulares. Fue a comienzos del siglo XVII cuando Kepler enunció sus importantes leyes, una de las cuales asigna órbitas elípticas a dichos cuerpos. Sólo un siglo antes, Copérnico había dado al traste con la concepción geocéntrica del universo, haciendo ver que era la tierra la que giraba alrededor del Sol.

Ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio r Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. P(x,y) y r y-b b C(a,b) x-a Ecuación de la circunferencia de centro (a, b) y radio r a x También:

LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN REDUCIDA Circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro una distancia r que llamaremos radio. P(x,y) r y x Ecuación de la circunferencia de centro (0,0) y radio r Ecuación reducida de la circunferencia

Posiciones relativas P d (s, C) < r P d (m, C) > r P Punto y circunferencia Recta y circunferencia P es un punto interior s B La recta s es secante a la circunferencia C P A d(C,P) < r C d (s, C) < r P m P es un punto de la circunferencia La recta m es exterior a la circunferencia C d (m, C) > r C d(C,P) = r t P La recta t es tangente a la circunferencia P P t C P es un punto exterior t d (t, C) = r P P C t d(C,P) > r La recta tangente es perpendicular al radio que va del centro al punto de tangencia

Posiciones relativas Circunferencias d(C, C´) < r+r´ Secantes Tangentes exteriores Exteriores d(C, C´) < r+r´ d(C, C´) > r-r´ d(C, C´) > r+r´ d(C, C´) = r+r´ Tangentes interiores Interior Concéntricas d(C, C´) < r+r´ d(C, C´) = r-r´ d(C, C´) < r+r´ d(C, C´) < r-r´ C = C´

Se determinan los triángulos PBA´ y PB´A LA CIRCUNFERENCIA Potencia de un punto respecto de una circunferencia Si P es un punto y C una circunferencia, dada una recta cualquiera que pase por P y corte a C, se define POTENCIA DEL PUNTO P RESPECTO DE LA CIRCUNFERENCIA C como el producto de las distancias de P con los puntos de corte de la recta con la circunferencia C B P r A r PotC(P) = PA · PB B El valor de este producto no depende de la recta elegida P A Sea s, otra recta secante a la circunferencia, desde P y sean A´, B´ los puntos donde esa recta corta a la circunferencia. s A´ B´ Se determinan los triángulos PBA´ y PB´A  Porque comparten el ángulo P Ambos triángulos son semejantes  Y los ángulos B y B´ son iguales porque abarcan el mismo arco El producto PA · PB es constante (No depende de la recta elegida para calcularla)

El valor de este producto no depende de la recta elegida LA CIRCUNFERENCIA Potencia de un punto respecto de una circunferencia P (x1,y1) PotC(P) = PA · PB C P B El valor de este producto no depende de la recta elegida A C (a,b) r h PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2 PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2 PotC(P) = x12 + y12+mx1+ny1+p Ejemplo: P(-1, 3) y Circunferencia (x-2)2+(y+5)2=8 PotC(P) = (-1-2)2 + (3+5)2 – 8 = 9 + 64 – 8 = 65

P es un punto de la circunferencia LA CIRCUNFERENCIA Potencia de un punto respecto de una circunferencia PotC(P) = PA · PB PotC(P) = PA · PB = (h-r) · (h+r)=h2-r2 PotC(P) = (x1-a)2 + (y1-b)2-r2 P P es un punto de la circunferencia d(C,P) = r h=r C PotC(P) = 0 P es un punto exterior P es un punto interior P d(C,P) > r h>r d(C,P) < r h<r C P C PotC(P) < 0 PotC(P) > 0

m1x+n1y+p1= m2x+n2y+p2 (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0 LA CIRCUNFERENCIA Eje radical El EJE RADICAL de dos circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de ambas circunferencias Sean las circunferencias: C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0 Sea P(x,y) un punto del eje radical PotC1 (P)=PotC2 (P) PotC1(P)= x2+y2+m1x+n1y+p1 PotC2(P)= x2+y2+m2x+n2y+p2 Luego: x2+y2+m1x+n1y+p1= x2+y2+m2x+n2y+p2 m1x+n1y+p1= m2x+n2y+p2 (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0 Se trata de una recta con vector normal (m1 - m2 , n1-n2)

Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0 LA CIRCUNFERENCIA Eje radical Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0 vector normal (m1 - m2 , n1-n2) El eje radical de dos circunferencias es perpendicular a la recta que une los centros C1: x2+y2+m1x+n1y+p1=0 C2: x2+y2+m2x+n2y+p2=0 O1: (-m1/2,-n1/2) O2: (-m2/2,-n2/2) Un vector director de la recta que une los centros: Que coincide con el vector normal del eje radical, por lo tanto ambas rectas: eje radial y recta que une los centros, son perpendiculares

Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0 LA CIRCUNFERENCIA Eje radical Eje radical: (m1 - m2) x+(n1-n2)y+(p1-p2)=0 vector normal (m1 - m2 , n1-n2) C2 C2 C1 C1 Eje radical Eje radical C2 C1 Eje radical

LA CIRCUNFERENCIA Centro radical El CENTRO RADICAL de tres circunferencias es el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen igual potencia respecto de las tres circunferencias El centro radical de tres circunferencias es el punto de intersección de los ejes radicales de dichas circunferencias tomados dos a dos C2 C1 C3 Centro radical

LA ELIPSE La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante. F´ F

Elementos de la elipse B P d´ d´ d d A O A´ A´ F’ F’ 2c F F B´ A´ A F’ La ELIPSE es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante que llamamos 2a. B P A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y la designaremos 2c d (F, F´)=2c d´ d´ d d Para un punto P se llaman radios vectores a d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ d+d´=2a A O A´ A´ F’ F’ 2c F F El segmento FF´ se llama eje focal, y su punto medio se llama O centro de la elipse La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la elipse B´ Los puntos donde los ejes de la elipse cortan a la elipse se llaman vértices de la elipse: A, A´ B, B´. AA´se llama eje mayor y BB´ eje menor A es un punto de la elipse. Cumple d(A, F) + d(A, F´) = 2a Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´) d(A´,F´) )+d(A,F´)=2a d(A, A´)=2a A´ A F’ F

como ambos radios vectores son iguales (por simetría de la figura) Elementos de la elipse El eje mayor mide 2a d(A, A´)=2a El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c 2b 2b 2a 2a Se define la longitud del eje menor d(B, B´)=2b 2c 2c B es de la elipse. Cumple que la suma de sus radios vectores es 2a d(B,F)+d(B,F´)=2a como ambos radios vectores son iguales (por simetría de la figura) d(B, F)=d(B, F´) = a Se forma un triángulo rectángulo a b c a b a2=b2+c2 Se llama excentricidad de la elipse e c En la elipse

Excentricidad de la elipse c=0 los focos coinciden Se trata de una CIRCUNFERENCIA e = 1 c=a los focos coinciden con los vértices Se trata de un SEGMENTO 0 < e < 1 c < a Se trata de una ELIPSE

Características de la elipse Centramos la elipse en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas B(0,b) Centro: Focos: Vértices: Eje mayor: Eje menor: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(0,0) A’(-a,0) F(c,0) y F’(-c,0) C(0,0) A(a,0) F’(-c,0) F(c,0) A(a,0), A’(-a,0), B(0,b) y B’(0,-b) B’(0,-b) NOTA: Los focos siempre están en el eje mayor |AA’|=2a |BB’|=2b a b c y=0 x=0 e=c/a (e<1)

Ecuación reducida de la elipse Lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) (focos) es constante (2a) P(x,y) F’ F Ecuación reducida de la elipse a b c

Elipse invertida Los focos de la elipse se encuentran sobre el eje OY F(0,c) y F’(0,-c) Ecuación reducida de la elipse invertida A(0,a) F(0,c) NOTA: El eje mayor en este caso está en el eje OY a c B’(-b,0) B(b,0) Centro: Focos: Vértices: Ecuación eje mayor: Ecuación eje menor: Excentricidad: C(0,0) b C(0,0) F(0,c) F’(0,-c) A(0,a) A’(0,-a) F’(0,-c) B(b,0) B’(-b,0) A’(0,-a) x=0 a y=0 b e=c/a c

Elipse no centrada en el origen (Ejes paralelos a los ejes de coordenadas) B (h, k+b) O Y a b b A’(h-a ,k) a C (h , k) A (h+a , k) F (h-c, k) c F (h+c, k) y=k X B’ (h, k-b) x=h e=c/a a2=b2+c2 Ecuación de una elipse de C (h,k) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas

LA HIPÉRBOLA La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante.

Elementos de la HIPÉRBOLA La HIPÉRBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos es una cantidad constante que llamamos 2a. P A la distancia de F a F´ se le llama distancia focal y se designa 2c d (F, F´)=2c d´ d Para un punto P se llaman radios vectores d (P,F)=d y d(P,F´)=d´ Id-d´I=2a O A F’ A´ 2c F El segmento FF´ se llama eje focal, el punto medio se llama O centro de la hipérbola La recta que contiene al eje focal y su perpendicular trazada por O son ejes de simetría de la hipérbola Los puntos donde el eje focal corta a la hipérbola se llaman vértices : A, A´ y el segmento AA´se llama eje real A es un punto de la hipérbola: Cumple d(A, F´) - d(A, F) = 2a A´ A Por simetría de la figura d(A,F)= d(A´,F´) d(A, F´) - d(A´,F´)=2a d(A, A´) = 2a F’ F

Elementos de la hipérbola Se define un segmento de longitud b, como el cateto de un triángulo que tenga de hipotenusa c y otro cateto a c b 2b a c2=a2+b2 2a 2c Se definen dos puntos B y B´ sobre el eje de simetría vertical que estén a distancia b del centro O d(B, B´)=2b B´ Los puntos B y B´ se llaman también vértices de la hipérbola (junto con A y A´) y al eje que los une se llama eje imaginario. El eje focal mide 2c d(F, F´)=2c Asíntotas de la hipérbola son las rectas hacia las cuales se aproximan las ramas de la hipérbola sin llegar a tocarlas El eje real mide 2a d(A, A´)=2a Se llama excentricidad de la hipérbola: e

Excentricidad de la hipérbola c=a , es decir, los focos coinciden con los vértices Se trata de dos SEMIRRECTAS e > 1 c > a Se trata de una HIPÉRBOLA

Características de la hipérbola Centramos la hipérbola en unos ejes de coordenadas cartesianas, de forma que su centro de simetría coincida con el origen de coordenadas Centro: Focos: Vértices: Eje real: Eje imaginario: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(0,0) F(c,0) F’(-c,0) B(0,b) A(a,0) A’(-a,0) b c B(0,b) B’(0,-b) C(0,0) A(a,0) m=b/a a F’(-c,0) A’(-a,0) F(c,0) |AA’|=2a |BB’|=2b B’(0,-b) y=0 x=0 c b a (e>1) e=c/a

Ecuación reducida de la hipérbola Ecuación de la hipérbola Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(c,0) y F’(-c,0) es constante (2a). P(x,y) Ecuación reducida de la hipérbola

NOTA: Los focos siempre están en el eje real Hipérbola invertida Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F(0,c) y F’(0,-c) (focos) es constante. Ecuación reducida de la hipérbola F(0,c) A(0,a) NOTA: Los focos siempre están en el eje real c a Centro: Focos: Vértices: Ecuación eje real: Ecuación eje imaginario: Excentricidad: Asíntotas: C(0,0) C(0,0) B’(-b,0) b B(b,0) F(0,c) F’(0,-c) A’(0,-a) A(0,a) A’(0,-a) B(b,0) B’(-b,0) F’(0,-c) x=0 y=0 c b a e=c/a (e>1)

Ecuaciones de las asíntotas Hipérbola trasladada (Ejes paralelos a los ejes de coordenadas) Y B(h, k+b) b c F’(h-c, k) C(h,k) c F(h+c, k) A’(h-a, k) a A(h+a, k) B’(h, k-b) X Ecuación de la hipérbola de C(h,k) y ejes paralelos a los ejes de coordenadas Ecuaciones de las asíntotas

Hipérbola equilátera x2 - y2 = a2 Una hipérbola se llama equilátera si tiene iguales sus dos semiejes Al ser a = b su ecuación reducida queda x2 - y2 = a2 c2 = 2a2 c a a b a Al ser a = b las pendientes de las asíntotas son +1 y -1. Las asíntotas son las bisectrices de los cuadrantes Ecuaciones de las asíntotas: y=x y=-x (rectas perpendiculares)

Hipérbola equilátera

Ecuaciones de las asíntotas: Hipérbola equilátera Referida a las asíntotas F F (h,h) B A A (t,t) a a2 = 2t2 a t A´ B´ F ´ t 2a2 = 2h2 h= a h h Ecuaciones de las asíntotas: y=0 x=0

Ecuaciones de las asíntotas: Ecuaciones de las asíntotas: Hipérbola equilátera. Resumen x2 - y2 = a2 Ecuaciones de las asíntotas: y=x y=-x Ecuaciones de las asíntotas: y=0 x=0

LA PARÁBOLA La PARÁBOLA es el lugar geométrico de los puntos P del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz.

Elementos de la PARÁBOLA La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta llamada directriz (d) La distancia del foco a la directriz se le llama parámetro de la parábola: p P La perpendicular a la directriz pasando por el foco se llama eje de la parábola y es eje de simetría p F El punto de corte del eje con la parábola se llama vértice de la parábola V Eje (e) V V es un punto de la parábola, por lo tanto cumple su condición: d ( V, F) =d ( V, d) Directriz (d) p=d ( F, d) =d ( V, F) + d( V, d) p y ambos sumandos son iguales d(V, F) =d(V,d)=p/2 d F p>0 V p/2 p/2

Parámetro de la PARÁBOLA p = d ( F, d) p>0

y=0 Elementos de la PARÁBOLA Foco: Vértice: Eje : V(0,0) Directriz: Centramos la parábola de forma que su vértice coincida con el origen de coordenadas. Y Foco: Vértice: Eje : Directriz: Parámetro: P (x, y) p V(0,0) V(0,0) eje p/2 p/2 F X y=0 d p>0

Ecuación reducida de la parábola Ecuación de la PARÁBOLA Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F(p/2,0) (foco) y de una recta llamada directriz (x=-p/2). Ecuación reducida de la parábola Vértice (0,0) y eje OX

y=k PARÁBOLA trasladada F(h+p/2, k) V(h,k) Eje (e) Directriz (d) p/2 Y X Directriz (d) Ecuación de una parábola de eje paralelo al eje OX

Ecuaciones de la PARÁBOLA y = 0 y = 0 y = k x = 0 x = h x = 0

Las Cónicas como lugar geométrico Elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante. Hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos F y F’ (llamados focos) es constante. Parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta llamada directriz. La Circunferencia es un caso particular de elipse (F coincide con F’)