PROCESADORES DIGITALES DE SEÑALES Tema IV Transformada Z: Transformada Z - IV Sistemas Electrónicos, EPSG

Contenido de la Sesión... La Transformada Z: Definición de TZ Región de convergencia Diagrama de ceros y polos Propiedades de la ROC Propiedades de la TZ Pares transformados Estabilidad, causalidad y ROC

Definición de la TZ Transformada de Fourier de la secuencia x[n] Transformada Z de la secuencia x[n] Variable compleja z=ejw

Región de Convergencia La convergencia de la TZ depende sólo de |z|, o sea, la ROC está formada por todos los valores de z para los que se cumple la desigualdad: Especificar la expresión algebraica y la ROC...

Ceros y Polos La TZ tiene toda su utilidad cuando la suma infinita se puede expresar con una fórmula matemática simple Entre las TZ más importantes están las que X(z) es una función racional en la región de convergencia: P(z), Q(z) polinomios en z

Propiedades de la ROC Propiedad 1: La ROC puede ser un anillo o un disco centrados en el origen Propiedad 2: La TF de x[n] converge si y sólo si la ROC de la TZ de x[n] contiene la circunferencia unidad Propiedad 3: La ROC no puede contener ningún polo ( indefine la TZ ) Dependen de la naturaleza de la secuencia...

Propiedades (continuación...) Propiedad 4: Si x[n] es una secuencia de duración finita, la ROC es el plano z completo, pudiendo exceptuarse los valores z=0 y z= Propiedad 5: Si x[n] es una secuencia limitada por la izquierda, la ROC se extiende hacia fuera desde el polo finito más exterior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=

Propiedades (continuación...) Propiedad 6: Si x[n] es una secuencia limitada por la derecha, la ROC se extiende hacia dentro desde el polo finito más interior de X(z) hasta el valor, que puede incluir, z=0 Propiedad 7: Si x[n] es una secuencia bilateral, la ROC será un anillo en el plano z limitado en el interior y en el exterior por un polo

Propiedades (continuación...) Propiedad 8: La ROC deberá ser una región conexa La expresión algebraica y el diagrama de ceros y polos especifican de forma completa la TZ de una secuencia x[n] Comprobar propiedades de la ROC según Fig. 3.10...

Propiedades de la TZ La propiedad de linealidad dice que: Comentar el resultado que se puede obtener...

Propiedades (continuación...) La propiedad de desplazamiento en el tiempo indica que: z-n0 puede alterar el número de polos en z=0 o z=

Propiedades (continuación...) La convolución de secuencias expresa: H(z) es la función de transferencia del sistema LTI

Pares Transformados Secuencia delta de Dirac Todo z Secuencia delta de Dirac desplazada Todo z excepto 0 si m> 0 Todo z excepto  si m< 0

Pares (continuación...) Secuencia limitada por la izquierda Secuencia limitada por la derecha Igual expresión algebraica, diferente ROC...

Estabilidad, Causalidad y ROC Sobre la estabilidad y la causalidad: No son condiciones necesariamente compatibles Para que un sistema LTI sea a la vez estable y causal, la ROC de H(z) deberá ser el exterior del polo más externo e incluir la circunferencia unidad, lo que requiere que todos los polos estén en el interior de la circunferencia unidad

Ejercicios Ejercicio 1 Determine la TZ y la ROC (a) (1/2)n u[n] (b) -(1/2)n u[-n-1] (c) (1/2)n u[-n] (d) [n] (e) [n-1] (f) [n+1] (g) (1/2)n ( u[n] - u[n-10] ) Problema 3.1 pp. 128, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 2 Determine la TZ y la ROC (a) x[n]=(0.8)n u[n]+(1.25)n u[n] (b) x[n]=(0.8)n u[n]-(1.25)n u[-n-1] (c) x[n]=-(0.8)n u[-n-1]-(1.25)n u[-n-1] (d) x[n]=-(0.8)n u[-n-1]+(1.25)n u[n]

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 3 Determine la TZ y la ROC Problema 3.3 pp. 128, Oppenheim

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 4 Dado el diagrama de ceros y polos, especifique si es falso, verdadero o no se puede determinar que: (a) El sistema es estable (b) El sistema es causal (c) Si es causal, tiene que ser estable (d) Si es estable, la h[n] es bilateral Ver diagrama de ceros y polos a continuación...

Ejercicios (continuación...) Diagrama de ceros y polos Ejercicio 4

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 5 Dada X(z) cuyo diagrama de ceros y polos se muestra: (a) Determine la ROC de X(z) si se sabe que existe la TF. ¿ Está limitada o no la x[n] ? (b) ¿ Cuántas secuencias bilaterales posibles tiene el diagrama de ceros y polos ? (c) ¿ Es posible asociar el diagrama con una secuencia que sea estable y causal ? Problema 3.4 pp. 129, Oppenheim Ver diagrama de ceros y polos a continuación...

Ejercicios (continuación...) Diagrama de ceros y polos Ejercicio 5

Ejercicios (continuación...) Ejercicio 6 Determine la X(z) de la secuencia x[n] que se muestra: Variante del Problema 3.5 pp. 129, Oppenheim