TRIGONOMETRÍA (Segunda parte) Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS R.T. DEL ÁNGULO DOBLE. R.T. DEL ÁNGULO MITAD TEOREMA DEL SENO TEOREMA DEL COSENO ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON

SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. B M Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. O X Y Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.  A    P N

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS B Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. M O X Y Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM.  A    P N

COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS (otra forma de deducir la fórmula)

TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Si dividimos numerador y denominador por cosa.cosb Simplifi- cando

R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) 1

R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS

R. T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r. t R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos)

R. T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r. t R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble)

Teorema del seno Teorema del coseno

TEOREMA DEL SENO Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos. El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. C B A a b c Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces: hC hA H Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A:

Medida de los ángulos en una circunferencia Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A      180º- 180º-      B  C 360º-(180º-180º- 360º - 360º +  

Medida de los ángulos en una circunferencia Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 90º   180º Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos.

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO B Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. A’ Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo ángulo que abarca un diámetro es recto). Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego: La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo.

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo La superficie del triángulo ABC es: hC C B A a b c H En el triángulo AHC : Sustituyendo en la primera expresión:

Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: C B A a b c R Por el Teorema del seno : Sustituyendo en la primera expresión:

TEOREMA DEL COSENO El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo correspondiente Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: C B A a b c (en AHC) h m c-m H (Como en AHC m = b . cos A) Análogamente (trazando las otras alturas) obtendríamos:

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: A C c B b a Si A < 90º  cos A >0  a b c B A C Si A = 90º  cos A = 0  ( Teorema de Pitágoras ) C B A b a c Si A > 90º  cos A < 0 

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón La superficie del triángulo ABC es: hC C B A a b c H Por el Tª del coseno

CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón La superficie del triángulo ABC es: hC C B A a b c H ... FÓRMULA DE HERÓN Si a+b+c=2p (p será el semiperímetro)  b+c-a=2p-2a=2(p-a) ....

Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos.

PÁGINAS WEB http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigonometria.htm http://www.eneayudas.cl/trigentrada.htm#ejyej http://www.sectormatematica.cl/proyectos/como_aprender.htm http://www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/argoment/APPUNTI/TESTI/Mar_04/APPUNTI.HTM http://www.dm.unibo.it/matematica/Trigonometria/trigono.htm http://www.vialattea.net/eratostene/cosmimetria/metodo.htm http://www.univie.ac.at/future.media/moe/galerie/trig/trig.html http://descartes.cnice.mecd.es/ http://www.nauticoartiglio.lu.it/trigsfer/trigsferica.htm http://astro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm