Geometría Analítica

Definición de Sistema de Coordenadas Es un sistema de ejes coordenados, en que a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, al número del eje x se conoce como abscisa, al eje Y ordenada.

Definición de abscisa Abscisa: los números tomados sobre el eje X que miden la distancia en magnitud y el signo desde el origen. El eje X se llama, eje de las abscisas.

Definición de ordenada Ordenadas: los números tomados sobre el eje Y miden la distancia en magnitud y signo desde el origen. El eje Y recibe el nombre de ordenada.

Coordenadas (x,y) Sabemos como se construye una recta numérica. La línea horizontal es el eje de x, la vertical es el eje de y y su intersección es el origen. Estos ejes dividen el plano en cuatro zonas llamadas cuadrantes.

Definición de Par Ordenado Par de números de la forma ( x, y ) utilizados para localizar puntos en un plano, se expresan en forma de pares ordenados. El orden en que se escribe es muy importante.

Signos de los puntos ( pares ordenados) en los cuadrantes X Y Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV ( + , + ) ( - , + ) ( - , - ) ( + , - ) Origen ( x, y )

Ejemplo de Par Ordenado En el par ordenado ( 3 , 5) el 3 corresponde al número localizado en el eje de ( x ) y el 5 corresponde al número localizado en el eje de ( y ).

Ejercicios resueltos: Y ( 3 , 5 ) Par Ordenado ( 3 , 5) 5 4 3 2 1 X 1 2 3 4 Origen

Localiza los siguientes pares ordenados en el plano: Y B ( -3 , 4 ) A ( 2 , 3) 4 A ( 2 , 3 ) 3 B (-3 , 4) 2 C (-3 , -2) D 1 ( 3 , 0 ) D ( 3 , 0) X - 4 - 3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 ( -3 , -2 ) C -3 -4

Resuelve las ecuaciones y dibuja las gráficas ( x, y ) Ejemplo # 1 y = - 3x + 5 ( 0 , 5 ) Si x = 0 y = -3 (0) + 5 = 0 + 5 = 5 ( 1 , 2 ) Si x = 1 y = -3 (1) + 5 = -3 + 5 = 2 Si x = 5 y = -3 (5) + 5 = -15 + 5 = -10 ( 5, -10 ) Si x = -1 ( -1, 8 ) y = -3 (-1) + 5 = 3 + 5 = 8

Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se formaron. Continuación I Y X Y 5 1 2 -10 -1 8 10 (-1, 8) 8 6 (0, 5) 4 (1, 2) 2 X -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 -2 -4 Gráficamente estos fueron los pares ordenados que se formaron. -6 -8 (5, 10) -10

Continuación II y = 4x + 2 Ejercicio # 2 Si x = 0 ( x, y ) Si x = 0 y = 4 (0) + 2 = 0 + 2 = 2 ( 0 , 2 ) Si x = 1 y = 4 (1) + 2 = 4 + 2 = 6 ( 1 , 6 ) Si x = -1 y = 4 (-1) + 2 = -4 + 2 = - 2 ( -1,-2 ) X Y 2 1 6 -1 -2 Variable dependiente Variable independiente

Los pares ordenados formados son estos. Continuación III Y X Y 2 1 6 -1 -2 6 (1,6) 5 4 3 (0,2) 2 1 X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -1 Los pares ordenados formados son estos. (-1,-2) -2 -3 -4 -5 -6

Ejercicios resueltos con dos variables * Despejar para y * X Y 2 2x + 5y = 10 Si x = 0 2( 0 ) + 5y = 10 0 + 5y = 10 y = 2 y = 10/ 5 Continuación…

* Despejar para y * 2x + 5y = 10 Si x = 5 2( 5 ) + 5y = 10 2 5 2x + 5y = 10 Si x = 5 2( 5 ) + 5y = 10 10 + 5y = 10 5y = 10 - 10 5y = 0 Continuación…

Continuación, ejercicio anterior * Despejar para y * X Y 2 5 -5 4 2x + 5y = 10 Si x = -5 2( -5 ) + 5y = 10 -10 + 5y = 10 5y = 10 + 10 5y = 20 y = 4 y = 20/5 Continuación…

Estos son los pares ordenados que se formaron. Continuación B Y X Y 2 5 -5 4 (-5,4) 5 4 3 (0,2) 2 1 X -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 (5,0) -1 -2 Estos son los pares ordenados que se formaron. -3 -4 -5

Practicar para no olvidar

Ejercicio 1 ¿Cuales signos corresponden al primer cuadrante en el plano cartesiano? Recuerda que se gira contrario a la manecilla del reloj: A: ( + , - ) B: ( + , + )

Ejercicio 2 ¿Cuales signos corresponden al tercer cuadrante en el plano cartesiano?: A: ( - , - ) B: ( + , + )

Ejercicio 3 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: P = (3, 5). Seleccione su respuesta P B: A: 5 4 3 2 1 1 2 3 -4 -3 –2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 -3 -2 -4 -3 -5 -4 P -5

Ejercicio 4 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: Q = (-4, 2). Seleccione la respuesta correcta. A: B: 3 5 2 4 3 1 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 1 2 3 4 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5

Ejercicio 5 Localiza el siguiente punto en el plano cartesiano: R = (-1, -3). . Seleccione la respuesta correcta. A: B: 3 R 3 2 2 1 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -2 R -3 -3 -4 -4 -5

Ejercicio 6 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1. Selecciona la alternativa correcta: B: A: ( 3 , 5 ) ( 1 , 7 )

Ejercicio 7 Resuelve la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2. Selecciona la alternativa correcta: B ( 2 , 13 ) A ( 3 , 10 )

Ejercicio 8 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 4 A: ( 5 , 10 ) B: ( 4 , 13 ) C: ( 13 , 4 )

Ejercicio 9 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5 A: ( 2 , 5 ) B: ( 5 , 15) C: ( 4 , 10 )

Ejercicio 10 Resuelve la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0 A: ( 0 , 5 ) B: ( 5 , 2 ) C: ( 1 , 4)

Selección incorrecta Recuerda que en el primer cuadrante la coordenada de x y la de y son positivas. Ejemplo 3 a la derecha y 5 hacia arriba. Intente otra alternativa

Felicidades ( + , + ) Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Usted ha seleccionado correctamente: X Y Cuadrante I Cuadrante II Cuadrante III Cuadrante IV ( + , + ) Origen Siguiente ejercicio

Selección incorrecta Recuerda que en el tercer cuadrante la coordenada de x y la de y son negativas. Ejemplo -4 a la izquierda y -5 hacia abajo. Intente otra alternativa

Usted ha seleccionado correctamente: Felicidades Usted ha seleccionado correctamente: Y Cuadrante II Cuadrante I X Origen Cuadrante III Cuadrante IV ( - , - ) Siguiente ejercicio

Usted ha seleccionado correctamente: Felicidades Usted ha seleccionado correctamente: Recuerda que al recorrer 3 a la derecha (coordenada x) y 5 hacia arriba (ordenada y) los dos números son positivos, por tanto el par ordenado estará en el primer cuadrante. Resp. B, Ejercicio 3 P 5 4 3 2 1 1 2 3 -1 -2 -3 -4 -5 Siguiente ejercicio

Error intente otra alternativa Respuesta A, ejercicio 3 Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 3 espacios a la izquierda y luego 5 hacia abajo, el par ordenado será (-3,-5) por tanto negativos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (3,5). -4 -3 –2 -1 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

Selección de respuesta correcta. Felicidades Selección de respuesta correcta. Es correcta porque si recorre -4 a la izquierda y luego 2 hacia arriba se formará el par ordenado (-4,2) que es el que pertenece al punto Q que nos señala el ejercicio propuesto. 3 Q 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5 Siguiente ejercicio

Error intente otra alternativa Su selección es incorrecta. Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 2 espacios a la derecha y luego 4 hacia abajo, el par ordenado será (2,-4) por tanto, el primer número es positivo y pertenece a la coordenada x, el segundo es negativo y pertenece a la ordenada y. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-4,2). 5 4 3 2 1 -1 1 2 3 4 -2 -3 -4

Selección de respuesta correcta. Felicidades Selección de respuesta correcta. Es correcta porque si recorre -1 a la izquierda y luego -3 hacia abajo se formará el par ordenado (-1,-3) que es el que pertenece al punto R que nos presenta el ejercicio propuesto. 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 Siguiente ejercicio

Error intente otra alternativa Selección incorrecta. Esta respuesta es incorrecta porque si recorre 1 espacio a la derecha y luego 3 hacia arriba, el par ordenado que se forma es (1,3) por tanto, los números son positivos y pertenecen al primer cuadrante, donde todos los pares ordenados son positivos. En cambio el par ordenado que presenta el ejercicio es (-1,-3). 3 2 1 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 -5

Selección correcta: Felicidades Solución de la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1 y = 2x + 5 y = 2(1) +5 y = 2 + 5 y = 7 El par ordenado que se forma es: (1 , 7) Siguiente ejercicio

Error, su elección es incorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 1, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a uno (x = 1) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, su elección es incorrecta Al resolver la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a dos (x = 2) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: Felicidades Solución de la ecuación y = 3x + 7 cuando x = 2 y = 3x + 7 y = 3(2) +7 y = 6 + 7 y = 13 El par ordenado que se forma es: (2 , 13) Siguiente ejercicio

Solución correcta: y = 2x + 5 y = 2(4) +5 y = 8 + 5 y = 13 Solución de y = 2x + 5 cuando x = 4 y = 2x + 5 y = 2(4) +5 y = 8 + 5 y = 13 Par ordenado ( 4 , 13 ) Siguiente ejercicio

Error, selecciones otra respuesta Al resolver la ecuación 2x + 5 cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación 2x + 5 cuando x = 4, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cuatro (x = 4) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: y = 2x + 5 Par ordenado y = 2(5) +5 ( 5 , 15 ) Solución de y = 2x + 5 cuando x = 5 y = 2x + 5 y = 2(5) +5 y = 10 + 5 y = 15 Par ordenado ( 5 , 15 ) Siguiente ejercicio

Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, solucion icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 5, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cinco (x = 5) pues el ejercicio nos lo indica.

Selección correcta: y = 2x + 5 Par ordenado y = 2(0) +5 ( 0 , 5 ) Solución de y = 2x + 5 cuando x = 0 y = 2x + 5 y = 2(0) +5 y = 0 + 5 y = 5 Par ordenado ( 0 , 5 ) Siguiente ejercicio

Error, selección icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.

Error, selección icorrecta Al resolver la ecuación y = 2x + 5 cuando x = 0, la solución nos debe dar como resultado un par ordenado, donde x sea igual a cero (x = 0) pues el ejercicio nos lo indica.

Direcciones en Internet relacionadas al tema http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/index.shtml http://jahumada.metro.inter.edu/mrsg1010/unidad3/u3s1t1.htm http://omega.ilce.edu.mx:3000/sites/telesec/prope/htmlb/sec_39. html http://www.nuevaalejandria.com/archivos-curriculares/ http://www.kn.pacbell.com/wired/bluewebn/index.cfm http://www.shodor.org/interactivate/activities/graphit/ http://www.salonhogar.com/