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Producto Cartesiano y Relaciones Binarias
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¿Qué es el Plano Cartesiano?
El plano cartesiano está determinado por el espacio que se forma al interceptar dos rectas llamadas ejes de coordenadas: El eje horizontal recibe el nombre de eje x o de abscisas. El eje vertical recibe el nombre de eje y o de ordenadas. En ambos ejes se pueden representar los números enteros y se cruzan en el cero.
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Cómo representar un punto en el Plano
1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia la derecha si son positivas o hacia a izquierda si son negativas, a partir del punto de origen, en este caso el cero. 2. Desde ese punto en el eje de x, se cuentan las unidades correspondientes hacia arriba si son positivas o hacia abajo, si son negativas en el eje y, y de esta forma se localiza cualquier punto dadas sus coordenadas. Ejemplos: Localizar los puntos A ( -4, 5 ) y B ( 3, -5 ) en el plano cartesiano.
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A ( -4, 5 ) B ( 3, -5 )
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Ejercicios: Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos: M (1,-4) ; N ( 0, 4) ; P (5, 1) ; Q (-5, 0) ; R ( -3,-4)
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A × B = { (x,y) / x A ^ y B } Producto Cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos A y B, denotado A × B, es el conjunto de todos los posibles pares ordenados cuyo primer componente es un elemento de A y el segundo componente es un elemento de B. A × B = { (x,y) / x A ^ y B }
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Producto Cartesiano Ejemplo: Si A = { a , b , c } y B = { 1 , 2 }
A x B = { (a,1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2) } Note que: A tiene 3 elementos B tiene 2 elementos A x B tiene 6 elementos.
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Producto Cartesiano Ejemplo: A = { corazón, trébol, diamante, espada }
A x B = { (corazón, 1); (corazón,2); … ;(corazón,12); (trébol,1); (trébol,2); … ;(trébol,12); …;(diamante,1) … ;(diamante,12); … ;(espada,1); … ;(espada,12) } Note que: A tiene 4 elementos B tiene 12 elementos A x B tiene 48 elementos (todas las cartas del mazo)
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Producto Cartesiano Representación en forma de Tabla
Ejemplo: A = { a, b , c } B = { 1, 2, 3, 4 }
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Producto Cartesiano Representación en forma de Diagrama Sagital
Ejemplo: A = { , } B = { , , }
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Gráfico cartesiano Dados los conjuntos
A = { 1 , 2 } y B = { 1 , 2 , 3 } el gráfico cartesiano de A x B es: La segunda componente de cada elemento del producto cartesiano es la ordenada La primera componente de cada elemento del producto cartesiano es la abscisa
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Producto Cartesiano Ejemplo: A = { , } B = { , , }
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Indicar el gráfico cartesiano de A x B donde: A = { x / x R 2 x < 5 } B = { x / x R 1 < x 3 } Ejercicio
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Relaciones Binarias
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Relaciones Binarias entre elementos de conjuntos
Hay casos en que no todos los pares ordenados de un producto cartesiano de dos conjuntos responden a una condición dada.
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Relaciones Binarias entre elementos de conjuntos
Se llama relación entre los conjuntos A y B a un subconjunto del producto cartesiano A x B. Este puede estar formado por un solo par ordenado, varios o todos los que forman parte de A x B.
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3 es el correspondiente de d
Relaciones Dado el siguiente diagrama que relaciona los elementos de A con los de B 3 es el correspondiente de d b está relacionado con 1
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Conjuntos de salida y de llegada de un relación
A es el conjunto de salida y B es el conjunto de llegada
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Dominio de una relación
Dom(R) = x / xA (x,y) R Dom(R) = {b, c, d}
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Rango o Imagen de una relación
Im(R) = y / yB (x,y) R Im(R) = {1, 3, 4}
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Notación Si R es una relación entre A y B , la expresión x R y significa que (x,y) R , o sea, que x está relacionado con y por la relación R. Ejemplo: b R 1 porque (b,1) R
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R = {(x, y) A x A / |x – y| es divisible por 3}
Ejercicio Sea A = {2, 3, 4, 5, 6} R = {(x, y) A x A / |x – y| es divisible por 3} Escribir por extensión la relación R.
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