Funciones Continuas

Contenido Aproximación Histórica Introducción al concepto. Continuidad en un punto. Funciones Continuas. Continuidad en un intervalo. Ejemplos. Ejercicios propuestos. Discontinuidad. Taller evaluativo.

Aproximación Histórica En los inicios del Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de profundizar en el significado exacto de continuidad. Fue entrado el siglo XVIII que se presentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos a examinar el significado del concepto de continuidad.

Introducción al concepto La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel.

Ejemplos gráficos Observemos los siguientes gráficos. La idea de continuidad se puede observar en la gráfica de una función.

Continuidad en un punto Definición: Decimos que una función f es continua en un punto x = a, si se cumplen las siguientes condiciones:

Continuidad en un punto La primera condición La función debe estar definida en el punto donde se requiere la continuidad, es decir, f(a) debe ser un número real. Establece que

Continuidad en un punto La segunda condición Los valores de la función deben aproximarse a un único número real en la medida de que x se aproxime a a por la izquierda y por la derecha. Establece que

Continuidad en un punto La tercera condición Los valores de la función deben aproximarse precisamente al número real f(a) en la medida de que x se aproxime a a por la izquierda y por la derecha. Establece que

Continuidad en un punto Ejemplo1: La función definida por medio de es continua en En efecto, a) b) c)

Continuidad en un Punto En el gráfico siguiente vemos la continuidad de la función en el punto indicado:

Ejercicio Determinar si la función es continua en x = (- 4)

Continuidad en un punto Ejemplo 2: La función definida por medio de no es continua en En efecto, f (1) no existe como valor numérico, puesto que al sustituir x por el número 1 obtenemos una división por cero. Tan solo el hecho que la función no cumpla esta condición hace que no sea continua.

Continuidad en un punto Veamos el siguiente gráfico de la función discontinua.

Continuidad en un intervalo Definición: Decimos que una función es continua en un intervalo I, si es continua en cada elemento del interior del intervalo. Es decir, si se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, para cada punto c en int(I). De la gráfica del ejemplo anterior observamos que la función es continua en cualquier intervalo que no contenga el valor de 1.

Función Continua. Definición: Decimos que una función es continua, cuando ella es continua en todo punto de su dominio.

Ejemplo 1 de función continua Determinar si la función es continua. Respuesta: Sabemos que el dominio de esta función es todo el conjunto de números reales, entonces, debemos probar las tres condiciones de continuidad en cada número real.

Ejemplo 1 de función continua Para hacer esto escogemos un número arbitrario, es decir, un número a cualquiera, y verificamos las tres condiciones. Obviamente los resultados anteriores coinciden, y por lo tanto esta condición se cumple

Ejemplo 1 de función continua La gráfica de esta función es Conclusión: Toda función polinómica es continua en todo su dominio.

Ejemplo 2 de función continua Determinar si la siguiente función es continua. Respuesta: Observamos que la función dada es una función por tramos.

Ejemplo 2 de función continua. Cuando x = 2, hay un cambio de función, allí es donde hay que prestar especial atención. Evaluemos el límite Los límites laterales son distintos, en consecuencia el límite no existe.

Ejemplo 2 de función continua Como consecuencia la segunda condición falla, lo que nos hace concluir que la función no es continua en x = 2. Por lo tanto, la función no es continua. Veamos su gráfica.

Ejercicios propuestos Establezca si las funciones dadas son o no continuas en el punto x=2.. Justifíquese su respuesta. =

Discontinuidad Definición: Una función es discontinua en un punto cuando no existe límite en él o, existiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo punto.

Discontinuidad Evitable Una función tiene una discontinuidad evitable en un punto cuando existe límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo.

Discontinuidad Inevitable Una función tiene una discontinuidad inevitable en un punto cuando existen los límites laterales en él y son distintos. Si f es discontinua en el punto x=a, el valor se llama salto de la función en ese punto, y puede ser finito, si es un número real, o infinito.