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¿Qué significa superficie? ¿Conoces las fórmulas para calcular la superficie de cada una de las figuras? ¿Cuáles son? ¿Qué relación existe entre superficie y área? ¿Cómo se calcula el área de la figura de abajo?

Introducción a áreas Antes de comenzar a trabajar con derivadas, analizamos la línea tangente y la velocidad instantánea; las cuales nos dieron la introducción a la derivada. Ahora, el problema de calcular áreas bajo la curva, nos llevará a trabajar con la integral definida. Cuando tratamos de calcular el área de un triángulo, un cuadrado, un rectángulo, un rombo, etc. NO se nos complica encontrar la superficie limitada por esa figura; debido a que conocemos las fórmulas básicas que nos llevan a la solución.

Pero si necesitamos calcular el área de una región que está limitada por una curva, se nos complica un poco más. Sin embargo, tenemos el apoyo de ARQUÍMEDES, quién hace más de 2000 años nos dio los pasos para encontrar la solución. Él consideró a una sucesión de polígonos inscritos que se aproximen a la región limitada por la curva con una precisión cada vez más grande. Comenzaremos por analizar la curva más sencilla, la circunferencia. Claro está que vamos a suponer que no conocemos las fórmulas para su solución de área y perímetro.

Ejemplo: consideremos el círculo unitario, en el cual, polígonos regulares (cuadrado, hexágono, octágono) están inscritos y circunscritos. Al observar las figuras inscritas, notarás que falta superficie por cubrir del círculo; y en las figuras circunscritas, están sobrepasando el área del círculo. ¿Qué sucederá si incrementamos el número de lados en los polígonos regulares?

Si seguimos incrementando el número de lados en los polígonos regulares, cubriremos cada vez más al círculo cuando se inscriben y nos uniremos a la circunferencia cuando se circunscriben. Podemos concluir: el área del círculo se cubrirá en toda la superficie cuando el número de lados (n) del polígono inscrito o circunscrito llegue a infinito. Si designamos por A(c) al área de la curva y A(Pn) al área del polígono de n lados, entonces: A(círculo) = lim [A (Pn)] n-> ∞

Ejemplos Considere la región R limitada por la parábola y= f(x) = x², el eje de las x y la vertical x=3. Calcule el área de la región mediante polígonos inscritos.

2. Considere la región R limitada por la parábola y = f(x) = x², el eje de las x y la vertical x=3. Calcule el área de la región mediante polígonos circunscritos.

Ejercicios: en los siguientes ejercicios encuentra el área del polígono indicado, inscrito o circunscrito. Dibuja el área indicada. Si f(x) = x+1, limitada por la curva x=2, x=0, el eje de las x y hay cuatro rectángulos inscritos. Si f(x) = x+1, limitada por la recta x=2, x=0, el eje de las x y hay 8 rectángulos inscritos. Los mismos datos que el ejercicio anterior pero hay cuatro rectángulos circunscritos Ahora hay 8 rectángulos circunscritos.

Si f(x)= ½ x²+1, limitada por la recta x=2, x=0, el eje x y cuatro rectángulos circunscritos. Si f(x) = ½ x²+1, limitada por la recta x=2, x=0, el eje x y ocho rectángulos circunscritos. f(x) = 2x – 5; a = -1, b = 2, n = 3. f(x) = 3x² - 4; a = -2; b = 3; n = 5. f(x) = 4x² + 2x; a = 0; b = 4; n = 8.