Análisis de Sistemas Lineales “Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z” Ing. Rafael A. Díaz Chacón ASL/RAD/2001

Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z Representación General ASL/RAD/2001 Sistema Lineal e Invariante en Tiempo (LIT) x[n]  Z{x[n]}=X(z) En general y[n] =  (x[n]) Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda Y(z) = Z{  (x[n])} entonces el objetivo es estudiar esa ecuación en el plano z y[n]  Z{y[n]}=Y(z)

Definición de Transformada Z ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Propiedades de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Propiedades de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Algunos pares Transformados de Interés ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Métodos de Anti-Transformación Z ASL/RAD/2001 1) Integración en el campo complejo. 2) Identificación en una tabla de Transformadas. 2-A) Expansión en Fracciones Parciales. 2-B) División Larga. Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Teoremas de Valor Inicial y Valor Final ASL/RAD/2001 1) Teorema del Valor Inicial. Si Z{x[n]} = X(z) entonces x[0] = 2) Teorema del Valor Final. Si Z{x[n]} = X(z) entonces Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Solución de Ecuaciones en Diferencias ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Solución de Ecuaciones en Diferencias (ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Solución de Ecuaciones en Diferencias (otro ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

ASL/RAD/2001 Sistema Lineal e Invariante en Tiempo (LIT) Inicialmente en reposo  n  h[n] En general, se puede escribir h[n] =  (  [n])  y[n] = x[n] * h[n] Aplicando Transformada Z a esta última ecuación Y(z) = X(z)H(z) Integral de Convolución Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Función de Transferencia ASL/RAD/2001 “La Función de Transferencia de un sistema es la relación de las Transformadas Z de la salida y la entrada, bajo condiciones iniciales iguales a cero” Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Función de Transferencia ASL/RAD/2001 “El conocimiento de la Función de Transferencia de un sistema proporciona un conjunto de informaciones importantes acerca del sistema que representa” “El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema proporciona información acerca de su respuesta natural y de la estabilidad” Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

ASL/RAD/2001 POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)   “El diagrama de polos y ceros de la Función de Transferencia de un sistema es una gráfica en el plano complejo z donde los ceros se destacan con un símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ ” CEROS: c es un cero de un sistema si H(c)  0 Diagrama de polos y ceros Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Diagrama de polos y ceros (ejemplo) ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Diagrama de polos y ceros (ejemplo) ASL/RAD/2001 Re(z) Imag(z) Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z 4 1 1

Sistemas de Primer Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z y u [n] h[n] a = 0.75

Sistemas de Primer Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z a = 0.75

Sistemas de Primer Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z a = 0.75

Sistemas de Segundo Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

Sistemas de Segundo Orden ASL/RAD/2001 Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

ASL/RAD/2001 Respuestas impulsivas de sistemas de segundo orden Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z r = 0.75  = 0° r = 0.75  = 45° r = 0.75  = 180° r = 0.5  = 0°

ASL/RAD/2001 Respuestas escalón de sistemas de segundo orden Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z r = 0.75  = 0° r = 0.75  = 180° r = 0.5  = 180°

ASL/RAD/2001 Consiga la respuesta de los sistemas descritos por las ecuaciones en diferencias siguientes aplicando Transformada Z ecuación y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]=6 p 2 (n-2) y[n] + 8y[n-1]+165y[n-2] = 6(0.4) n u[n] y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6u[n] y[n] + 10y[n-1]+24y[n-2] = 50p 2 (n-2)y[n]+10y[n-1]+24y[n-2] = q 2 (n-2) y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6p 2 (n-4) y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]= q 2 (n-2) y[n]+8y[n-1]+165y[n-2]=6(0.4) n q 1 (n-1) ecuación Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z

ASL/RAD/2001 Consiga la función de transferencia de los sistemas descritos por las ecuaciones en diferencias siguientes Respuesta de un Sistema Discreto por Transformada Z ecuación y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]=6 p 2 (n-2) y[n] + 8y[n-1]+165y[n-2] = 6(0.4) n u[n] y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6u[n] y[n] + 10y[n-1]+24y[n-2] = 50p 2 (n-2)y[n]+10y[n-1]+24y[n-2] = q 2 (n-2) y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6p 2 (n-4) y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]= q 2 (n-2) ecuación y[n]+8y[n-1]+165y[n-2]=6(0.4) n q 1 (n-1)