Dos figuras están en posición perspectiva cuando existe una relación única entre sus elementos, cada elemento en una de las figuras contiene al elemento correspondiente y sólo a ese elemento en la otra figura, por ejemplo una fotografía en el momento de la exposición. Si la exposición perspectiva se corta, se cierra el obturador, existe una “característica” importante que relaciona los puntos en el objeto (terreno) y la imagen (foto), es la proyectividad. Es una consecuencia directa de la posición perspectiva. La imagen sólo reproduce fielmente las relaciones de posición, pero no las métricas; una cuadrícula en el mapa se reproduce en el fotograma como un cuadriculado oblicuo con diferentes tamaños de malla entre sí. La relación numérica entre los segmentos de una recta AB en el espacio objeto y sus correspondientes en la imagen se establece con el teorema siguiente:

La Razón Doble En rectas perspectivas la razón doble de una cuaterna es igual a la relación de la cuaterna homóloga A 2 l2 B2 C2 D2 S h D l A B C l1 D1 C1 B1 A1

Parámetros incógnita : 3 Relaciones proyectivas analíticas. dos figuras son proyectivas cuando sus elementos se corresponden uno a uno únicamente y cuando la cuaterna armónica entre cualesquiera 4 elementos en una figura es igual a la correspondiente cuaterna armónica de la otra. l l1 A1 x’1 x1 A x2 x’2 B1 B x3 C x’3 C1 D x4 Suponiendo 3 puntos fijos y resolviendo con x4 x’4 D1 Siendo d’4 = 1 a d Condición: 1 1 ¹ Parámetros incógnita : 3 a d 4 4

Parámetros incógnita : 8 En el caso del plano se establece una relación bidimensional y el número de coordenadas por punto será de dos, es pues evidente que serán dos ecuaciones por cada par de puntos homólogos (x,y ; x’,y’) las que se generan: ' ' ' ' ' a x + b y + d x 1 i 1 i 1 a b d = i 1 1 1 ' ' a x + ' ' b y + 1 4 i 4 i Condición: a b d ¹ 2 2 2 a ' x ' + b ' y ' + d ' 2 i 2 i 2 a b d y = 4 4 4 i a ' x ' + b ' y ' + 1 4 i 4 i Parámetros incógnita : 8

Parámetros incógnita : 15 En el caso del espacio se establece una relación tridimensional y el número de coordenadas por punto será de tres, es pues evidente que serán tres ecuaciones por cada par de puntos homólogos (x,y,z ; x’,y’,z’) las que se generan: a ' x ' + b ' y ' + c ' z ' + d ' a ' x ' + b ' y ' + c ' z ' + d ' 1 i 1 i 1 i 1 y 2 i 2 i 2 i 2 x = = i a ' x ' + b ' y ' ' ' i + c z + 1 a ' x ' + b ' y ' + c ' z ' + 1 4 i 4 i 4 i 4 i 4 i 4 i ' ' + ' ' + ' ' ' a x b y c z + d z 3 i 3 i 3 i 3 = i ' ' + ' ' ' ' a x b y + c z + 1 4 i 4 i 4 i a b c d 1 1 1 1 a b c d 2 2 2 2 Condición : ¹ a b c d 3 3 3 3 Parámetros incógnita : 15 a b c d 4 4 4 4

2 3 1 5 4 Coordenadas terrestres X Y 2 3 4 1 Puntos de control a medir 431342,19 4479455,92 2 431299,06 4479610,12 3 431772,13 4479727,08 4 431686,53 4479453,96 1 10.650,00 2 10.600,00 3 10.550,00 10.500,00 1 10.450,00 5 10.400,00 10.350,00 4 10.300,00 7.400,00 7.500,00 7.600,00 7.700,00 7.800,00 7.900,00 8.000,00

Problema Calcular las coordenadas de los puntos 1, 2 y 3 en el sistema calibrado conocidos los datos siguientes: Coord. Comparador Coord. calibradas Puntos x mm y mm X mm Ymm Fid.A 228.17 129.73 112.995 0.034 Fid.B 2.1 129.52 -113.006 0.005 Fid.C 115.005 242.625 0.003 112.993 Fid.D 115.274 16.574 -0.012 -113.000 1 206.674 123.794 2 198.365 132.856 3 91.505 18.956 91,50 -5,88 83,20 3,18 -23,77 -110,60