Clase 9.1 Integrales

Supongamos que se conoce con que velocidad V(t) viaja un avión en cada instante de tiempo y se quiere encontrar el espacio recorrido en cada instante de tiempo (función de posición). Su posición inicial es S(0)= 9 m

Primitivas o Antiderivadas Definición: Una función F se llama primitiva o antiderivada de una función f en un intervalo I si la derivada de F es f, esto es F´(x) = f(x) para todo x en I. Observación: De la definición se ve que F no es única. Para que F´(x) exista la función F(x) debe ser continua.

Teorema: Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, la antiderivada más general de f en I es F(x)+ c, donde c es una constante arbitraria. Teorema Si dos funciones P y Q son primitivas de una función f en un intervalo I entonces P(x) = Q(x) + C, (C constante) para todo x en I.

Ejemplo 1 Encuentre la antiderivada más general de cada una de las siguientes funciones.

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica

Interpretación geométrica

Problemas 1. Una lancha de motor se aleja del muelle describiendo una trayectoria rectilínea, con una aceleración en el instante t, dada por En el instante t = 0, la lancha tenia una velocidad de 8 m/s y se encontraba a 15 metros del muelle. Determinar la posición de la lancha S (t ) respecto al embarcadero al cabo de t segundos. 2. Un proyectil se dispara verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad de 1600 pies/seg. Despreciando la resistencia del aire, calcule su altura s (t ) en el instante t. ¿Cuál es su altura máxima?

Resolver: 11, 12, 18, 35, 60, 62, 65, 68. Pág.. 356

ÁREAS A3 A2 A1 A4

Definición 2: El área de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua f es el límite de la suma de las áreas de los rectángulos de aproximación: http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/index.html

Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho Definición de Integral definida f continua definida . Dividimos el intervalo [a,b] en n subintervalos de igual ancho Elegimos las muestras x1*, x2*,..., xn* Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es:

Leibniz introdujo el símbolo Notas 1 Leibniz introdujo el símbolo Limite Inferior y superior No tiene significado, indica respecto a que variable se integra. Integrando El procedimiento para calcular integrales se llama por si mismo integración.

Nota 2: La integral definida es un número. Nota 3: Debido a que hemos supuesto que f es continua, se puede probar que el límite de la definición siempre existe y da el mismo valor sin importar cómo elijamos los puntos muestras. Nota 4: Se llama suma Riemann, en honor al matemático alemán y si f es positiva, esta suma se puede interpretar como un área.

Nota 5: Aun cuando la mayoría de las funciones son continuas, el límite de la definición también existe si f tiene un número finito de discontinuidades removibles o por saltos (pero no discontinuidades infinitas). Propiedades página 385

Sea f una función continua tal que: f(x)  0 en [a, b] y Propiedad 1 Definición: Sea f una función continua tal que: f(x)  0 en [a, b] y S={(x, y)/ a  x  b, 0  y  f(x)} Se denota por a(S) y se llama área bajo la curva y = f(x) al número dado por:

que es el área de un rectángulo de altura Propiedad 2 A partir del ejemplo anterior se tiene que: que es el área de un rectángulo de altura h y longitud de base (b – a).

Propiedad de linealidad Si f y g son funciones integrables en [a, b] y  y  son constantes, se tiene:

Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración Si existen dos de las integrales siguientes, también existe la tercera y se tiene: Propiedad aditiva respecto al intervalo de integración

La propiedad anterior es aplicada cuando la función está definida por partes y cuando es seccionalmente continua. Ejemplo: Si y se quiere hallar:

Teorema de comparación Propiedad 5 Teorema de comparación Si f y g son integrables en [a, b] y g(x)  f(x) para todo x  [a, b], se tendrá: Demuestre que

Sin calcular la integral, estime entre qué valores se encuentra: Ejemplo Sin calcular la integral, estime entre qué valores se encuentra:

ò ò ³ £ dx f(x) entonces b, x cuando 0, Si £ a) - M(b dx f(x) m(b b, x Propiedad 6 y 7 ò ³ £ b a dx f(x) entonces b, x cuando 0, Si ò £ b a a) - M(b dx f(x) m(b b, x cuando M, m Si

DEFINICIONES: Sea f una función integrable en [a, b], entonces:

Entonces F(x) es derivable en [a, b] y 1° Teorema Fundamental del Cálculo Sea f una función continua en [a, b], y la función F(x) definida por: Entonces F(x) es derivable en [a, b] y F’(x) = f(x)

Ejemplos 1. Determine la derivada con respecto a x de las funciones: 2. Aplique la regla de L’Hôpital para calcular:

Si f es una función integrable en [a, b] 2° Teorema Fundamental del Cálculo Si f es una función integrable en [a, b] y F una primitiva de f en [a, b], entonces: Esta regla convierte al calculo de integrales definidas en un problema de búsqueda de primitivas y evaluación.

Ejemplos Evaluar las integrales 4. Hallar el área de la región que se muestra en la figura.

Regla de sustitución Evaluar las siguientes integrales: Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, y f es continua sobre I, entonces: