ÁLGEBRA

TEMA 4 ECUACIONES 1º GRADO 4.1 ECUACIONES PRIMER GRADO 4.2 ECUACIONES EQUIVALENTES 4.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

4.1 Ecuaciones de primer grado IGUALDAD.- Es la expresión con una igualdad que se cumple siempre. IDENTIDADES.- Son las igualdades entre expresiones numéricas o algebraicas que SIEMPRE son ciertas para cualquier valor de las letras. Ejemplos: 4 = 4 x = x x2 – 1 = (x + 1).(x – 1) ECUACIONES.- Son las igualdades de expresiones alebraicas que SOLAMENTE son ciertas para algunos valores de las letras. Ejemplos: x = 5 , sólo es cierto si x = 5 x – 2 = 5 , sólo es cierto si x = 7 x2 = 4 , sólo es cierto si x = 2 o si x = - 2

VARIABLES E INCÓGNITAS En un polinomio P(x) a la x se la denomina VARIABLE. En una ecuación, por ejemplo 3.x – 1 = x + 2 , a la letra x se la llama INCÓGNITA. Un polinomio no es una ecuación. En un polinomio podemos hallar el valor del mismo para un valor de x dado. Si P(x) = x2 – 1, entonces P(3) = 32 – 1 = 9 – 1 = 8 Si no hay solución se llaman ECUACIONES INCOMPATIBLES. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN Es el valor que debe tomar la incógnita para que se verifique la igualdad. Resolver una ecuación es hallar sus soluciones. Si hay solución o soluciones se llaman ECUACIONES COMPATIBLES.

EJEMPLOS DE ECUACIONES INCOMPATIBLES x = x + 1 No existe ningún número REAL que cumpla la igualdad. x2 = - 4 √ x = - 2 EJEMPLOS DE ECUACIONES COMPATIBLES x + 1 = 3 Si x = 2 entonces y sólo entonces se cumple la igualdad. x2 = 4 Si x = 2 o x = - 2 se cumple la igualdad. √ x = 2 Si x = 4 entonces y sólo entonces se cumple la igualdad.

4.2 ECUACIONES EQUIVALENTES Las ecuaciones de primer grado son aquellas igualdades cuyo EXPONENTE de la incógnita es la unidad. Ecuaciones equivalentes son las que tienen la misma solución. Para resolver una ecuación hay que hallar la ecuación equivante que tenga en uno de sus lados unicamente la INCÓGNITA. Eso se llama DESPEJAR.

REGLA DE LA SUMA ( PRIMER PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ): Si en una igualdad sumamos (o restamos) a ambos lados la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x - a = b  x – a + a = b + a  x = b + a Numéricamente: x – 3 = 7  x – 3 + 3 = 7 + 3  x = 7 + 3 x + a = b  x + a – a = b – a  x = b – a x + 3 = 7  x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 7 – 3

Ejemplos 1. Resolver la ecuación: x – 2 = 5 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = 5 + 2  x = 7 O sea, el 2 que estaba restando a la incógnita, pasa al otro lado sumando. 2. Resolver la ecuación: x +3 = 7 Restamos 3 a ambos lados, quedando: x + 3 – 3 = 7 – 3  x = 4 O sea, el 3 que estaba sumando a la incógnita, pasa al otro lado restando.

3. Resolver la ecuación: x – 2 = x + 5 Cuando hay varios términos con “x”, se pasan todas las “x” a un lado y los demás términos al otro. Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = x + 5 + 2  x = x + 7 Restamos x a ambos lados, quedando: x – x = x + 7 – x  0 = 7  Esta igualdad resultante es imposible. La ecuación es INCOMPATIBLE

4. Resolver la ecuación: x – 2 = x – 2 Sumamos 2 a ambos lados, quedando: x – 2 + 2 = x - 2 + 2  x = x  Nos ha dado una IDENTIDAD. Siempre se cumplirá la igualdad, luego hay INFINITAS SOLUCIONES 5. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 6 + x Restamos x a ambos lados quedando: 2.x – 2 – x = 6 + x – x  x – 2 = 6 x – 2 + 2 = 6 + 2  x = 8 x = 8 es una ecuación equivalente a la dada.

REGLA DEL PRODUCTO ( SEGUNDO PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA ): Si en una igualdad multiplicamos (o dividimos) a ambos lados por la misma cantidad, la igualdad sigue siendo cierta Ejemplo: x x a.x --- = b  a. --- = a. b  ------ = a.b  x = a.b a a a Numéricamente: x x 3.x --- = 4  3. --- = 3. 4  ------ = 3.4  x = 12 3 3 3

a.x = b  -------- = ----  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 9 Ejemplo: a.x b a.x = b  -------- = ----  x = b / a a a Numéricamente: 3.x 9 3.x = 9  -------- = ----  x = 9 / 3 = 3 3 3 Importante: Si al despejar la incógnita, x, no queda un valor entero, se simplifica y se queda como fracción irreducible, salvo que sea decimal exacto. x = 2 Bien x = 3 / 2 = 1,5 Bien x = 2 / 3 = 0,6666 Incorrecto, pues nunca puede ser exacto. x = 2 / 3 Bien

Ejemplos 6. Resolver la ecuación: 2.x = 6 Dividimos por 2 a ambos lados, quedando: 2.x / 2 = 6 / 2  x = 3 O sea, el 2 que estaba multiplicando a la incógnita pasa al otro lado dividiendo. 7. Resolver la ecuación: x / 3 = 5 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.(x / 3) = 3.5  3.x / 3 = 15  x = 15 O sea, el 3 que estaba dividiendo a la incógnita pasa al otro lado multiplicando.

8. Resolver la ecuación: 2.x – 2 = 5.x + 4 Las x deben quedar a un lado. ¿Dónde?. Mejor donde queden positivas. Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 2 – 2.x = 5.x + 4 – 2.x  - 2 = 3.x + 4 Restamos 4 a ambos lados, quedando: – 2 – 4 = 3.x + 4 – 4  – 6 = 3.x  Dividimos ambos por 3, quedando: – 6 / 3 = 3.x / 3  – 2 = x O sea, primero el 4 que estaba sumando ha pasado restando, luego 2.x que estaba sumando ha pasado restando, y por último el 3 que estaba multiplicando ha pasado dividiendo.

9. Resolver la ecuación: ( 2.x / 3 ) – 2 = x - 6 Multiplicamos ambos lados por 3, quedando: 3.[(2.x / 3) – 2] = 3.( x – 6)  2.x – 6 = 3.x - 18 Restamos 2.x a ambos lados, quedando: 2.x – 6 – 2.x = 3.x - 18 – 2.x  - 6 = x - 18 Sumamos 18 a ambos lados, quedando: – 6 + 18 = x - 18 + 18  12 = x MUY IMPORTANTE: Siempre que en una ecuación haya fracciones, hay que aplicar primero la Regla del Producto, multiplicando ambos lados por el denominador de la fracción. Si hay varios denominadores se multiplica todo por el MCM de los que haya ( o por el producto de los denominadores).

10 Resolver la ecuación: 2 - (3.x / 2) = x – 6 Multiplicamos ambos lados por 2, quedando: 2.[2 - (3.x/2)] = 2.(x – 6)  4 – 3.x = 2.x - 12 Sumamos 3.x a ambos lados, quedando: 4 – 3.x + 3.x = 2.x - 12 + 3.x  4 = 5.x – 12 Sumamos 12 a ambos lados, quedando: 4 + 12 = 5.x - 12 + 12  16 = 5.x Dividimos por 5 a ambos lados, quedando: 16 / 5 = 5.x / 5  16 / 5 = x  x = 3,2 Si la fracción resultante no es decimal exacto, se deja en fracción.

4.3 RESOLUCIÓN DE ECUACIONES 1. Si hay denominadores se halla el mcm. 2. Se multiplica todo por el mcm. 3. Si hay paréntesis se suprime aplicando la propiedad distributiva. 4. Si delante de un paréntesis hay el signo “-” se cambia todo de signo. 5. Se aplica la regla de la suma. 6. Se aplica la regla del producto. NOTA: Es muy importante el ORDEN en el proceso a seguir.