POLINOMIOS DÍA 09 * 1º BAD CS

EXPRESIÓN ALGEBRAICA Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas. Las letras se llaman variables (en polinomios), incógnitas (en ecuaciones) o indeterminadas (en general). EJEMPLOS a) 4.x2 b) a.b c) y - 4 + x2 d) ( x + y ) / 3 e) x2- y2 f) 2.π.r

VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA Es el número que se obtiene al sustituir las letras por números dados y realizar las operaciones indicadas. Si la expresión es un polinomio cobra especial importancia, pues si P(a) = 0 entonces decimos que a es una raíz del polinomio. EJEMPLOS a) 4.x2  Para x = 5  4.52 = 4. 25 = 100 b) a.b  Para a = 3 y b = - 4  3.(-4) = - 12 c) ( x + y ) / 3  Para x = 13 y b = - 4  ( 13 - 4) / 3 = 9 / 3 = 3 e) 2.π.r  Para r = 10  2.3,1416. 10 = 62,832

EJEMPLOS PRÁCTICOS El área de un rectángulo, sean cual sean el valor de sus dimensiones. A = b.h El volumen de un prisma, sean cual sean el valor de sus dimensiones. V = l.a.h La longitud de una circunferencia, sea cual sea el valor del radio. L = 2.π.r El importe del IVA, sea cual sea el valor del objeto que compremos. IVA = 0,16 x PVP El impuesto (IRPF) a pagar según lo que se gane, sea cual sea su valor. IRPF = 0,18 x S Etc, etc, …

MONOMIO Es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que afectan a las letras son la MULTIPLICACIÓN y la POTENCIACIÓN DE EXPONENTE NATURAL. EJEMPLO 4.a.x3 El 4 es el coeficiente numérico. La a es el coeficiente no numérico. La letra x es la variable. El 3 es el exponente de la variable, que se llama GRADO del monomio. CONTRAEJEMPLOS - 3.x - 2 no es un monomio. 5.(x / y) no es un monomio 3 ----- no es un monomio. - 3.x.√y 2.x

POLINOMIO Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. EJEMPLOS P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x P(x) = - 7.x + 5 P(x, y) = x3 + 7.y2 - 5.x.y P(x) = 5.x2 - 7.x + a

TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS Tiene sumados los términos semejantes NO REDUCIDOS Contiene dos o más términos semejantes. COMPLETOS Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. INCOMPLETOS Falta algún término de grado menor que el del polinomio. ORDENADOS Sus términos están ordenados por el grado de la variable. NO ORDENADOS Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS REDUCIDOS P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 NO REDUCIDOS P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6 COMPLETOS P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6 INCOMPLETOS P(x) = 3.x3 + 4.x – 6  Falta término en x2 ORDENADOS P(x) = x3 - 3.x2 – 6  Ordenado de forma decreciente. NO ORDENADOS P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6 Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

Suma de polinomios La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x + 7.x3 + 5.x2 - 3 = = 11.x3 + 12.x2 - 5.x - 3

Diferencia de polinomios Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + 3 = = - 3.x3 + 2.x2 - 5.x + 3

Diferencia de polinomios EJEMPLO Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - a.x y Q(x) = 7.x3 + b.x2 - 3 P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - a.x ) - (7.x3 + b.x2 – 3 ) = = 4.x3 + 7.x2 - a.x - 7.x3 - b.x2 + 3 = = - 3.x3 + (7 – b).x2 - a.x + 3 Sea P(x) = a.x3 + b.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3 + 5.x2 - c P(x) - Q(x) = ( a.x3 + b.x2 - 5.x ) - (7.x3 + 5.x2 – c ) = = a.x3 + b.x2 - 5.x - 7.x3 - 5.x2 + c = = (a – 7).x3 + (b – 5).x2 - 5.x + c

Producto de polinomios El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. EJEMPLO Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x2 + 4.x – 2 P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x2 + 4.x – 2 ) = = ( 4.x ). (5.x2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x2 + 4.x – 2 ) = = (20.x3 + 16.x2 – 8.x) + ( 15.x2 + 12.x – 6 ) = = 20.x3 + 16.x2 – 8.x + 15.x2 + 12.x – 6 = = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6

Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. Veamos algunos ejemplos: (4.x).(5.x2 + 4.x )  1.2 = 2 términos (4.x - 2).(5.x2 + 4.x )  2.2 = 4 términos (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos (5.x2 + 4.x + 7).(x2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x - 3)  2.4 = 8 términos (x2 + 4.x - 5).(x3 + x2 + x - 3)  3.4 = 12 términos Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable.