Calculo de Limite de Funciones

Limites de funciones Algebraicas

Propiedades de las funciones 1.-si “c” es una constante, el limite de “c” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “c”. Ejemplo: 2.- el limite de “x” cuando “x” tiende a “a”, es igual a “a”. Lim c = c X 2 Lim 5 = 5 X2 Lim x = a X a Lim x = 3 X3 Demostración

Propiedades 3.- si “c” es una constante y “f” es una función, el limite del producto constante por función cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de la constante por el limite de la función. Lim c f(x) = c Lim f(x) X a X a Lim 4x = 4 Lim x = (4)(2) = 8 X2 X2 Demostración

Propiedades 4.-si “f” y “g” son funciones, el limite de un producto de funciones cuando “x” tiende a “a”, es igual al producto de los limites de las funciones. Lim f(x) g(x) = Lim f(x) Lim g(x) X a X a x  a Demostración

Propiedades 5.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de una suma o diferencia cuando “x” a “a”, es igual a la suma o diferencia de los limites de las funciones. Lim [ f(x) ± g (x) = Lim f(x) ± Lim g (x)] xa xa EJEMPLO: Lim (3x²+2x) = Lim 3x² + Lim 2x x5 x5 x5 =3 Lim x²+ 2 Lim x = 3(5)²+ 2(5) = 75+10=85 Demostración

Propiedades 6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero. Lim f(x) Lim f(x) = xa Sí Lim g(x) ≠ 0 g(x) Lim g(x) Xa Xa Demostración

Casos del calculo de limites de funciones Caso I.- Si la función dada, esta totalmente simplificada, se sustituye directamente el valor a que tiende la variable independiente en la función, dando lugar al limite buscado.

1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2 EJEMPLOS: 1. Calcular el limite de la función y = x +2x-1 cuando x2 Lim f(x) = Lim (x + 2x -1)= (2) +2(2) -1 =4+4-1= 7. 2. Calcular el limite de la función y = cuando x1/2 X + 5x 4x - 6 3 Demostración

FORMAS INDETERMINADAS DEL TIPO (0/0) Al calcular el cociente se observa que: a).- si el numerador y el denominador tienen el limite distinto de cero, el limite del cociente es igual al cociente de los limites (propiedad 6). b).- si el limite del numerador es cero y el denominador es diferente de cero , el limite del cociente es igual a cero. C).- si el limite del numerador es diferente de cero y el denominador es cero, el cociente no tiene limite y se establece que tiende a mas o menos infinito, según el caso. D) si los limites del numerador y del denominador son ambos iguales a cero, se tiene la forma (0/0), que se denomina indeterminada ya que cualquier valor numérico que se ponga como cociente cumple con la condición de que multiplicado por el divisor da lugar al dividendo. Ir a propiedad 6

Caso II A veces es necesario simplificar la expresión dada antes de sustituir el valor de la variable, si no se hace da la forma indeterminada (0/0). Se factoriza el numerados y el denominador de ser necesario.

Ejemplos: y = x + x – 6 cuando x2 Lim = x + x – 6 cuando x2 x -4 = Lim (x+3) (x+2) = Lim x+3= 2+3 = 5 X 2 (x+2)(x-2) X 2 x+2 2+2 4 Mas ejemplos

Caso III Para calcular el limite de una función dada, es necesario simplificar mediante la racionalización del numerador o del denominador, antes de sustituir el valor de la variable independiente, de no hacerlo se dará la forma (0/0). Ejemplo: x Calcular el limite de f(x) cuando x  0 X + 1 -1 Mas ejemplos

Infinito en limites Se establece: Lim f(x) = ∞ Xa Lim f(x) = A X∞ 0 = ∞ c Lim f c = ∞ Positivo Negativo X0 x Lim f cx = 0 C(0) = 0 Lim f(x) = ∞ Lim f(x) = -∞ X0 Xa Xa c = 0 Lim f x = 0 1 1 X0 c Lim f x² = ∞ Lim f ‾ x² = - ∞ ∞ = 0 c Lim f c = 0 X0 X0 X∞ x Lim f cx = ∞ C(∞) = ∞ X∞ Lim f x = ∞ c = ∞ ∞ X∞ c

Indeterminadas del tipo ∞ Sí el numerador y el denominador son iguales a ∞: Se elimina dividiendo ambos entre la variable de máxima potencia. Ejemplo: Limite de la función y = 49x³-5x²+6 7x-3x²+9x³ Solucionar

Caso IV Cuando se desea obtener el cociente de polinomios y si la variable independiente tiende al infinito, en este caso es necesario dividir el numerador y el denominador por la variable de mayor exponente, antes de sustituir el valor al que tiende la variable. EJEMPLO: 1.-Calcular el Lim 2- 5x² Y Lim 3t +2xt²+x²t³ 4-3xt-2x³t³ T∞ X∞ 4x + 8x² Solucionar

Limites de funciones Trascendentales

Teorema Si “c” es un numero real en el dominio de una función trigonométrica indicada, se cumple las siguientes propiedades. Lim sen (x) = sen (c) X  c Lim cos (x) = cos (c) X  c Lim tan (x) = tan (c) X  c Demostración

Propiedad de SENO Ejemplos: Lim senx = 1 X  0 x Ejemplos: Observe que en este caso el argumento es, por lo que en el denominador se necesita también la expresión , de ahí que se lleve a cabo el siguiente procedimiento:

Lim sen 3x X  0 x sen 3x = Lim 3 3x sen 3x = 3 Lim = 3 * 1 = 3 3x Demostración

Limite de funciones circulares trigonométricas inversas Cotng (Arc Tang) Sec (Arc cos) Cosc (Arc Sen)

Limites Trascendentales Inversos Son los limites con funciones trigonométricas inversas: Teorema: si “c” es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades…

Lim cot (x) = cot (c) X  c Lim sec (x) = sec (c) X  c Lim csc (x) = csc (c) X  c Demostración

Recuerda las siguientes identidades trigonométricas sen (x) En muchas veces para resolver los limites trigonométricos tendremos que utilizar el simplificado de términos, formulas de ángulos dobles, medio ángulo, suma y resta de ángulos. 1) tan (x) = cos (x) cos (x) 1 2) cot (x) = ;o; cot (x) = sen (x) tan (x) 1 3) csc (x) = sen (x) 1 4) sec (x) = cos (x) 2) sen² (x) + cos² (x) = 1

Limites de funciones exponenciales y algorítmicas La función exponencial (propiamente dicha) es una función matemática, que aparece a demás en muchas ecuaciones de la física. Se caracteriza porque los valores de la derivada de dicha función es igual al valor de la propia función. A demás es la inversa del logaritmo natural, esta función se denota equivalentemente como:

Donde “е” es la base de los logaritmos naturales. X  е ó x  exp(x). Donde “е” es la base de los logaritmos naturales. En términos generales una función real f(x) es de tipo exponencial si tiene la forma: f(x) = K * a siendo a, “a”, K Є R números reales. x

La exponencial es la única función que es igual a su derivada. Todas sus propiedades provienen de las propiedades del logaritmo. Se llama función exponencial la función definida sobre los reales por x  ℮ . La exponencial es la única función que es igual a su derivada. x

Relación adición-multiplicación ℮ = ℮ * ℮ a+b a b x Sus limites son: Lim ℮ = 0 X  -∞ 1 Lim ℮ = ∞ x ℮ = -a ℮ a X  +∞ y = exp x Inversa del logaritmo: ℮ a ℮ = a-b X = ln y (y > 0) ℮ b Demostración

℮ = cos t + i * sen t ℮ = ℮ * (cos b + i sen b) La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, y satisface la sorprendente relación: Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler: ℮ = cos t + i * sen t i*t ℮ = ℮ * (cos b + i sen b) a+bi a Demostración

? Fin

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Propiedades 6.- Si “f” y “g” son funciones, el limite de un cociente cuando x tiende a “a”, es igual al cociente de los limites de las funciones;siempre y cuando el limite de la función del denominador se diferente de cero. Lim f(x) Lim f(x) = xa Sí Lim g(x) ≠ 0 g(x) Lim g(x) Xa Xa Regresar

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Demostración 1.- Y= Cuando x  ½ 2.- Y= Cuando x 1 X + 5x 4x - 6 3 1.- Y= X + 5x 4x - 6 Cuando x  ½ 2.- Y= X + 2x - 3 Cuando x 1 X + 1 Regresar