Funciones © copywriter

Bosquejo Capítulo : F U N C I O N E S 2.1 ¿Que es función? 2.2 Gráficas de funciones 2.3 Funciones crecientes y decrecientes 2.4 Transformaciones de funciones 2.5 Funciones cuadráticas 2.6 Modelado de funciones 2.7 Combinación de funciones 2.8 Funciones uno a uno y su inversa © copywriter

¿Qué es una función? Una función es una regla. Para representar funciones, ha esta se le asignan letras, f, g, h. Una función f,es una que asigna a cada elemento x en un conjunto A, exactamente, llamado f(x), en conjunto B. © copywriter

… función Cuando se escribe f(2), se entiende “aplicar la regla f al número 2”. Al aplicar la regla se obtiene f(2) = 22 = 4. De manera similar, f(3) = 32 = 9. Otra forma, f(4) = 42 = 16. En general; f(x) = x2. © copywriter

La función El área de un círculo es una función de su radio. En número de bacterias en un cultivo es una función del tiempo. El peso de un astronauta es una función de su elevación. El precio de un artículo es una función de la demanda de ese artículo. La altura es una función de la edad. La temperatura es una función de la fecha. El costo de enviar por correo un paquete es una función del peso. © copywriter

Ilustración de una función Otra forma de ilustrar una función es mediante el diágrama de flechas. Cada flecha conecta a cada elemento de A con un elemento de B. La flecha indica que se relacionan. A B f © copywriter

Función cuadrática La función cuadrática asigna a cada número real x su cuadrado x2. Evaluar f(3), f(-2) y . Hallar el dominio y el rango de f. Trazar el diágrama de máquina para f. © copywriter

Evaluar : Dominio y Rango: El dominio de f es el conjunto R de todos los números reales. El rango consiste en los valores de f(x), es decir, los números de la forma x2. Como x2 ≥ 0 para todos los números reales x, se puede ver que el rango de f es: Diágrama de máquina: © copywriter

Evaluación de una función Sea f(x) = 3x2 + x – 5. Evalúe cada valor de la función dado. -2 -2 5 0 0 - 5 4 4 47 ½ ½ -15/4 © copywriter

Función definida por partes Un teléfono celular cuesta $39 al mes. El plan incluye 400 minutos gratis y cada minuto adicional de uso cuesta 20 centavos. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, y se expresa como; Determine C(100), C(400), C(480). Solución: si © copywriter

Una función es una regla. Tarifa 1: si Solución: Una función es una regla. Tarifa 1: Tarifa 2: Tarifa 3: Ya que 100 ≤ 400, se tiene C(100) = 39 Ya que 400 ≤ 400, se tiene C(400) = 39 Ya que 480 > 400, se tiene C(480) = 55 © copywriter

Conclusión El plan tiene un cargo mensual de: $39.00 por 100 minutos. © copywriter

Ejercicios Sección 2.1 Página 155 Ejercicios: 1 – 57 En el salón: 13, 16, 18, 20, 22, 24 Aplicación: 60, 62 y 64 gráficas © copywriter

2.2 Gráfica de Funciones © copywriter

2.2 Gráficas de Funciones La gráfica de una función Si f es una función con dominio A, entonces la gráfica de f es el conjunto de pares ordenados. En otras palabras, la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y) tales que y = f(x); es decir, la gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x). © copywriter

Gráfica de funciones Trace la gráfica de las siguientes funciones. © copywriter

Gráfica de funciones Valor Absoluto Traze la gráfica de © copywriter

Funciones por parte f(x)=2x + 1 x > 1 f(x)=x2 x 1 © copywriter

Ecuaciones que definen funciones y = 2 y2 = 4 Si es función NO es función GRAFICA © copywriter

Ejercicios Sección 2.2 Página 167 Ejercicios: 1 – 21, 27 – 50 Aplicación: 84, 86 © copywriter 20

Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio 2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio © copywriter

2.3 Funciones crecientes y decrecientes; tasa de cambio promedio Las funciones se emplean con frecuencia para modelar cantidades cambientes. Es importante saber donde sube y gráfica y donde baja. © copywriter

Funciones crecientes y decrecientes f es DECRECIENTE B f es CRECIENTE C f es CRECIENTE A a b c d Solución: f es CRECIENTE en: f es DECRECIENTE en: © copywriter

Definición f es creciente en un intervalo l si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en l. f es decreciente en un intervalo l f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en l. f f f(x1) f(x2) f(x2) f(x1) x1 x2 x1 x2 decreciente creciente © copywriter

Ejemplo: La siguiente gráfica da el peso W de una persona de la edad x. Determine los intervalos en los que la función W es creciente y en los que es decreciente. W (lb) 200 150 100 50 0 10 20 30 40 50 60 70 80 x (años) Solución: f es CRECIENTE en: ; CONSTANTE: f es DECRECIENTE en: . Esto significa que la persona ganó peso hasta los 25 años, luego entre 35 y 40. Perdió entre 40 y 50. © copywriter

a) Traze la gráfica de la función Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función a) Traze la gráfica de la función b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. -20 20 -1 10 Solución: a) Traze la gráfica de la función: X Y © copywriter

b) Halle el dominio y el rango de la función. Ejemplo: Gráfica para hallar intervalos donde crece y disminuye la función Solución: b) Halle el dominio y el rango de la función. c) Encuentre los intervalos en los que f crece y disminuye. © copywriter

Tasa de cambio promedio La tasa de cambio promedio de la función y = f(x) entre x = a y x = b es: © copywriter

La tasa de cambio promedio es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f, es decir, la recta que pasa por (a, f(a)) y (b, (f(b)). y f(b) y = f(x) f(b) – f(a) f(a) b – a x 0 a b © copywriter

Ejemplo La función: a) x = 1 y x = 3 16 9 4 © copywriter

Ejemplo La función: b) x = 4 y x = 7 16 9 4 © copywriter 31

Ejercicio 13; Pág. 179 © copywriter

Práctica 2.3: En el salón: 14, 15, 16, 17, 18 y 19 Asignación: 1 – 30 Problemas de aplicación: 22, 24, 26, 32, 34,36 (Para Entregar; 35 pts) © copywriter

Transformaciones de funciones 2.4 Transformaciones de funciones © copywriter

2.4 Transformaciones de funciones En esta sección se estudia como ciertas transformaciones de una función afectan una gráfica. Las transformaciones son desplazamiento, reflexión y estiramiento. Ejemplo: Desplazamientos vérticales de gráficas -20 20 10 Gráfica Veamos la definición © copywriter

Desplazamientos vérticales Suponga que c > 0 Para gráficar y = f(x) + c, desplace c unidades hacia arriba la gráfica de y = f(x). Para gráficar y = f(x) – c, desplace c unidades hacia abajo la gráfica de y = f(x). x y x y y = f(x) + c c y = f(x) y = f(x) c y = f(x) – c © copywriter

Ejemplo: Desplazamientos vérticales Use la gráfica f(x) = x3 – 9x; usando la siguiente información para bosquejar la gráfica de cada función. a) g(x) = x3 – 9x + 10 b) h(x) = x3 – 9x – 20 g(x) = x3 – 9x + 10 f(x) = x3 – 9x 30 h(x) = x3 – 9x – 20 -30 Hacer gráficas © copywriter

Desplazamientos horizontales Suponga que c > 0. Para gráficar y = f(x – c), desplace la gráfica de y = f(x) a la derecha c unidades. Para gráficar y = f(x + c), desplace la gráfica de y = f(x) a la izquierda c unidades. x y x y y = f(x – c) y = f(x) y = f(x + c) y = f(x) c c © copywriter

Desplazamientos horizontales Usemos la gráfica de f(x) = x2 para trazar la gráfica de las siguientes funciones. a) g(x) = (x + 4)2 b) h(x) = (x – 2)2 - 4 0 2 g(x) = (x + 4)2 f(x) = x2 h(x) = (x – 2)2 Hacer gráficas © copywriter

Ejemplo: Combinación de desplazamientos Bosqueje la gráfica de: (3, 4) grafica © copywriter

Reflexión de gráficas Para gráficar y = -f(x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje x. Para gráficar y = f(-x), refleje la gráfica de y = f(x) en el eje y. x y x y y = f(x) y = f(x) y = f(-x) y = -f(x) © copywriter

Ejemplo: Reflexión de gráficas Trace la gráfica de cada función: Hacer gráficas © copywriter

Pág. 190; Ejercicio 11 g(x) = (x – 2)2 11) f(x) = x2 12) g(x) = x3 + 3 0 2 g(x) = (x – 2)2 11) f(x) = x2 12) 0 2 g(x) = x3 + 3 f(x) = x3 © copywriter

Estiramiento y acortamiento vértical Para gráficar y = cf(x): Si c>1, alarge verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c. Si 0 < c < 1, acorte verticalmente la gráfica de y = f(x) por un factor de c. x y x y y = cf(x) y = f(x) y = f(x) y = cf(x) c > 1 0 < c < 1 © copywriter

Acortamiento y alargamiento horizontal La gráfica de y = f(cx): Si c > 1, acorte la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. Si 0 < c < 1, alargue la gráfica de y = f(x) horizontalmente por un factor de 1/c. x y x y y = f(cx) y = f(cx) y = f(x) y = f(x) © copywriter

Funciones par e impar Sea f una función: f es par si f(-x) = f(x) para toda x en el dominio de f. f es impar si f(-x) = -f(x) para toda x en el dominio de f. x y x y f(-x) f(x) -x x f(x) f(-x) -x x La gráfica de una función par es simétrica con respecto al eje x. La gráfica de una función impar es simétrica con respecto al origen. © copywriter

Ejercicio de práctica: Pág. 190 b) a) Ejercicio 19: Se da la gráfica de f. Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones. b) a) d) c) y = f(x – 2) y = f(x) – 2 y =2 f(x) y = -f(x) + 3 y = f(-x) y = ½ f(x – 1) Gráfica © copywriter

Cont… f) e) © copywriter

Problemas para resolver Pág. 190 1 – 55 61 – 68 © copywriter

2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos © copywriter

2.5 Funciones cuadráticas: máximos y mínimos Un valor máximo o mínimo de una función es el valor más grande o más pequeño de la función en un intervalo. En esta sección se aprende a cómo hallar los valores máximo y mínimo de funciones cuadráticas y otras. Una función cuadrática es una función f de la forma: f(x) = ax2 + bx + c donde a, b y c son números reales y a ≠ o © copywriter

Forma estándar de una función cuadrática Una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c se puede expresar en la forma estándar f(x) = a(x – h)2 + k completando el cuadrado. La gráfica de f es un parábola con vértice (h, k); la parábola se abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajo si a < 0. y k y k Vértice (h, k) Vértice (h, k) 0 h x 0 h x f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0 f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 © copywriter

Ejemplo: Forma estándar de una función cuadrática Sea f(x) = 2x2 – 12x + 23 Exprese f en forma estándar Bosqueje la gráfica Solución: Como el coeficiente de x2 no es 1, se debe factorizar este. f(x) = 2x2 – 12x + 23 = 2(x2 – 6x) + 23 Ahora aplica completar al cuadrado = 2(x2 – 6x + ___) + 23 – 2(___) = 2(x – 3)2 + 5 La forma estándar es f(x) = 2(x – 3)2 + 5 9 9 © copywriter

Ejemplo: Forma estándar de una función cuadrática b) Bosqueje la gráfica y 5 f(x) = 2(x – 3)2 + 5 Vértice (3, 5) 0 3 x © copywriter

Valor máximo o mínimo de una función cuadrática Se f una función cuadrática con forma estándar f(x) = a(x – h)2 + k. El valor máximo o míinimo de f ocurre en x = h. Si a > 0, entonces el valor mínimo de f es f(h) = k. Si a < 0, entonces el valor máximo de f es f(h) = k. y k y k máximo mínimo 0 h x 0 h x f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0 f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 © copywriter

Ejemplo: Valor mínimo de una función cuadrática f(x) = 5x2 – 30x + 49 Halla: Forma estándar Gráfica Valor mínimo Forma estándar: f(x) = 5(x2 – 6x) + 49 = 5(x2 – 6x + ____) + 49 – 5(____) = 5(x – 3)2 + 4 b) Gráfica 9 9 y 4 Valor mínimo Como el coeficiente de x2 es positivo, f tiene un valor mínimo. Valor mínimo es f(3) = 4 Valor mínimo 4 0 3 x f(x) = a(x – h)2 + k, a > 0 GRAFICA © copywriter

Ejemplo: Valor máximo de una función cuadrática f(x) = -x2 + x + 2 Halla: Forma estándar Gráfica Valor mínimo Forma estándar: f(x) = -x2 + x + 2 = -(x2 – x) + 2 = -(x2 – x + ____) + 2 – (-1)(____) = -(x – ½)2 + 9/4 b) Gráfica 1/4 1/4 y ½ Valor máximo es 9/4 Valor mínimo Como el coeficiente de x2 es negativo, f tiene un valor máximo. Valor máximo es f(1/2) = 9/4. (1/2, 9/4) 0 1 2 x f(x) = a(x – h)2 + k, a < 0 GRAFICA © copywriter

Valor máximo o mínimo de una función cuadrática El valor máximo o mínimo de una función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c ocurre en: Si a > 0, entonces el valor mínimo es Si a < 0, entonces el valor máximo es © copywriter

Ejemplo: Halla valores máximos y mínimos de funciónes cuadráticas Halla el valor máximo o mínimo de cada función cudrática. f(x) = x2 + 4x b) g(x) = -2x2 + 4x – 5 Como a > 0, la función tiene el valor mínimo: f(-2) = -4 Como a < 0, la función tiene e valor máximo: f(1) = -3 GRAFICA © copywriter

Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón) Página 200 Ejercicios 1, 7 y 8, 19 y 20 y 38 (Para resolver en el salón) Ejercicios asignados: 1 – 58 Aplicación: 59 © copywriter

2.7 Combinación de Funciones © copywriter

Combinación de Funciones En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir otras. SUMA, DIFERENCIAS, PRODUCTOS Y COCIENTES Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f + g, f – g, f(g) y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplicación y divide números reales. Se define la información f + g por: (f + g)(x) = f(x) + g(x) © copywriter

Algebra de Funciones Sean f y g funciones con dominio A y B. Entonces las funciones f + g, f – g, fg y f/g se definen como: (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f – g)(x) = f(x) – g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) © copywriter

Ejemplo: Combinación de funciones y sus dominios Solución: El dominio de f es {x / x ≠ 2} y el dominio de g es {x / x ≥ 0}. La intersección de los dominios de f y g es: {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} = [0, 2) U (2, ∞) © copywriter

Solución: Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} Dominio {x / x ≥ 0 y x ≠ 2} En el dominio de f/g se excluye 0 porque g(0) = 0. © copywriter

Solución: b) Cada uno de estos valores existe porque x = 4 está en el dominio de cada función. 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 © copywriter 66

Ejemplo: Determine la composición de funciones © copywriter

Solución: a) Se tiene; g(x) Definición de f compuesta con g. x – 3 Definición de g. x – 3 Definición de f. f(x) Definición de g compuesta con f. x2 Definición de f. x2 – 3 Definición de g. © copywriter

Solución: b) Se tiene: © copywriter

Ejemplo Determine la composición de funciones El dominio f compuesta por g es {x / 2 – x ≥ 0} = {x / x ≤ 2} = (-∞, 2). © copywriter

x ≥ 0 y para esté definida se debe tener es decir o bien x ≤ 4 © copywriter

© copywriter

Ejemplo: Una composición de tres funciones © copywriter

Ejemplo: Cómo reconocer una composición de funciones © copywriter

2.7 Ejercicios (Para realizar en el salón) Encuentre f + g, f – g, fg y f/g y sus dominios: © copywriter

2.7 Ejercicios 1 – 10 13 – 54 © copywriter

2.8 Funciones uno a uno y sus inversas © copywriter

La inversa de una función es una regla actúa en la salida de la función y produce la entrada correspondientes. Así, la inversa “deshase” o invierte lo que ha hecho la función. No todas las funciones tienen inversas; las que sí tienen se llaman funciones uno a uno. A B A B f g g NO es función f es función © copywriter

f(x1) ≠ f(x2) siempre que x1 ≠ x2 Definición de una función uno a uno Una función con dominio A se llama función uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan la misma imagen, es decir, f(x1) ≠ f(x2) siempre que x1 ≠ x2 © copywriter

Prueba de la recta horizontal Una función es uno a uno si y sólo si ninguna recta horizontal cruza su gráfica de una vez; y = f(x) f(x1) f(x2) x1 x2 La función no es uno a uno porque f(x1) = f(x2). © copywriter

Ejemplo: Decidir si una función es uno a uno ¿La función f(x) = x3 es uno a uno? f(x) = x3 Por la prueba horizontal es uno a uno. © copywriter

Ejemplo: Decidir si una función es uno a uno ¿La función g(x) = x2 es uno a uno? g(x) = x2 Por la prueba horizontal es NO uno a uno. © copywriter

Ejemplo: Mostrar si una función es uno a uno Muestre que la función f(x) = 3x + 4 es uno a uno. Solución: Suponga que hay números x1 y x2 tales que f(x1) = f(x2). Entonces, 3x1 + 4 = 3x2 + 4 3x1 = 3x2 x1 = x2 © copywriter

Definición de la inversa de una función Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. Entonces su función inversa f -1 tiene dominio en B y rango en A y está definida por; f -1 (y) = x ↔ f(x) = y para cualquier y en B. Dominio de f -1 = rango de f Rango de f -1 = dominio de f A B f f -1 © copywriter

Ejemplo: Encuentre f -1 para valores específicos Si f(1) = 5, f(3) = 7 y f(8) = -10 encuentre f -1 (5), f -1 (7) y f -1 (-10). Solución: Obtenemos lo siguiente de la definición de f -1; f -1 (5) = 1 porque f(1) = 5 f -1 (7) = 3 porque f(3) = 7 f -1 (-10) = 8 porque f(8) = -10 En forma de gráfica: A B C D 1 3 8 5 7 -10 5 7 -10 1 3 8 f f -1 © copywriter

Propiedad de la función inversa Sea f una función uno a uno con dominio A y rango B. La función inversa f -1 satisface las siguientes propiedades de cancelación. f -1 (f(x)) = x para toda x en A f(f -1(x)) = x para toda x en B A la inversa, cualquier función f -1 que satisface estas ecuaciones es la inversa de f. © copywriter

Ejemplo Verificar que dos funciones son inversas Muestre que f(x) = x3 y g(x) = x1/3 son inversas entre sí. Solución: El dominio y el rango de f y de g son todos los Reales. g(f(x)) = g( ) = ( ) = x f(g(x)) = f( ) = ( ) = x Por consiguiente, son inversas entre sí. x3 x3 1/3 x1/3 x1/3 3 Ejercicio 22, página 230: f(x) = 2x – 5; g(x) = Solución: f(g(x)) = f( ) = = © copywriter