Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN MÉTODOS NUMÉRICOS

Curvas solución sin una solución (Campo de dirección) Si se evalúa f de forma sistemática en una red de puntos rectangular en el plano xy y se traza un elemento lineal en cada punto (x,y) de la red con pendiente f(x,y), entonces la colección de estos elementos lineales se llama campo de dirección o campo de pendientes de la ecuación diferencial dy/dx=f(x,y).

Campo de dirección De manera gráfica, un campo de dirección indica la apariencia o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial y, en consecuencia, podría ser posible ver de un vistazo ciertos aspectos cualitativos de las soluciones.

Ejemplo El campo de direcciones para la ecuación diferencial dy/dx = 0.2xy, así como algunas curvas solución se muestran en las siguientes figuras:

Solución del PVI Suponga que el Problema de Valor Inicial de primer orden: y´=f(x,y) con y(x0)=y0 posee una solución. Una forma de poder aproximar esta solución es utilizar rectas tangentes.

Método de Euler (Aproximación de y(x1) por medio de la recta tangente) Sea y(x) la solución desconocida del PVI. Utilizando la linealización de la solución desconocida y(x) en x=x0: L(x) = y0 + f(x0,y0)[x-x0] La gráfica de esta linealización es una recta tangente a la gráfica de y=y(x) en el punto (x0,y0).

Método de Euler... Si representamos con h un incremento positivo en el eje x, entonces al sustituir x por x1=x0+h se obtiene: L(x1) = y0 + f(x0,y0)(x0+h-x0) ó y1 = y0 + hf(x1,y1) donde: y1 = L(x1) El punto (x1,y1) en la recta tangente es una aproximación al punto (x1,y(x1)) en la solución. La precisión de la aproximación depende del tamaño de h.

Método de Euler... Por lo común, se debe elegir este tamaño de paso como “razonablemente pequeño”. Si repetimos el proceso para una segunda recta tangente en (x1,y1) tenemos ahora: y(x2) = y(x0+2h) = y(x1+h) Lo anterior es aproximadamente igual a y2 = y1+hf(x1,y1) Continuando de esta manera se puede obtener una forma recursiva: yn+1 = yn + hf(xn,yn) donde xn=x0+nh para n=0,1,2,… Este procedimiento se conoce como método de Euler.

Problema Considere el problema de valor inicial: Use el Método de Euler para obtener una aproximación de y(2.5) primero con h=0.1 y luego con h=0.05

Solución del PVI h= 0.1 X Y h= 0.05 X Y 2 4 2.1 4.18 2.2 4.376845048 2.3 4.591365959 2.4 4.824393432 2.5 5.076757934 h= 0.05 X Y 2 4 2.05 4.09 2.1 4.184161874 2.15 4.282589486 2.2 4.385386695 2.25 4.492657353 2.3 4.604505298 2.35 4.721034353 2.4 4.842348324 2.45 4.968550992 2.5 5.099746115

Problemas Utilice el Método de Euler para obtener una aproximación de al menos cuatro cifras del valor indicado. y(0)=1 y(0.5) h=0.05 y(1)=1 y(1.5) h=0.01 y(p/2) h=0.1