RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES Departamento de Matemáticas RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES

Ecuaciones lineales Una ecuación lineal con n incógnitas, es una ecuación polinómica de grado 1. Solución de una ecuación lineal con n incógnitas es un conjunto de números reales que al sustituir a las incógnitas verifican la ecuación. Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones). Si multiplicamos o dividimos los dos términos de una ecuación por un número distinto de cero, la ecuación que resulta es equivalente a la primera. Departamento de Matemáticas

Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de ecuaciones lineales que tienen solución (o soluciones) comunes. Si el sistema se llama homogéneo. Departamento de Matemáticas

Sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Solución de un s. de m e. l. con n incógnitas es un conjunto de números reales que al sustituir a las incógnitas verifican, a la vez, todas las ecuaciones. Si un sistema tiene solución se llama compatible. Si la solución es única, se llama compatible determinado. Si tiene más de una solución se llama compatible indeterminado. Si un sistema no tiene solución se llama incompatible.

Sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Sistemas de ecuaciones lineales Dos sistemas son equivalentes cuando tienen la misma solución (o soluciones). 1º) 2º) Criterios de equivalencia: 3º) 4º)

RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES: MÉTODO DE GAUSS Departamento de Matemáticas RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES: MÉTODO DE GAUSS Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro escalonado de la forma: = nº distinto de 0 Nº de ec. = nº de incógnitas Solución única 0 0 Ecuación imposible No hay solución Nº de ec. <nº de incógnitas Infinitas soluciones

Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Matrices asociadas a un sistema de ecuaciones lineales Matriz del sistema: Es la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones. Matriz ampliada con los términos independientes:

Sistemas de ecuaciones lineales: Notaciones Departamento de Matemáticas Sistemas de ecuaciones lineales: Notaciones Notación ordinaria: Notación matricial: Notación vectorial:

Departamento de Matemáticas Teorema de ROUCHÉ La condición necesaria y suficiente para que un sistema S sea compatible es que el rango de la matriz de los coeficientes coincida con el rango de la matriz ampliada con los términos independientes. S: es compatible si: ran = ran

Departamento de Matemáticas REGLA DE CRAMER Si tenemos un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas con (ran(A) = ran(A´)= 3), el sistema es compatible y su solución es: x = y = z =

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Hay infinitas soluciones: Hacemos z = Soluciones: Los planos se cortan en una recta

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Solución: (3,-2,1)

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Solución: (0,-1,2)

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Solución:

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Calculamos el rango de A: Buscamos un menor de orden 3 distinto de 0 Como todos son iguales a 0 ran A = ran A´= 2 < nº incógnitas S es compatible indeterminado

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales Departamento de Matemáticas Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

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