P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera1 Repaso de clase anterior Distribución Binomial (Bin(n,p)) e Hipergeométrica como conteo de artículos defectuosos en muestras con y sin reposición. La Bin(n,p) cuenta el número de “éxitos” en n intentos independientes de un suceso de probabilidad p. Distribución Binomial negativa y presupuestación bajo incertidumbre

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera2 La distribución de Poisson Problema: Modelar la ocurrencia de altos picos de polución atmosférica a lo largo de un largo período ( queremos predecir cuántas veces se tendrán niveles muy altos de polución). (Ejemplo: picos de ozono en región parisina, monitoreados por AIRPARIF) Referencia: Lise Bellanger, “Statistique de la pollution de l’air. Méthodes Mathématiques. Application au cas de la región parisienne”, thèse doctoral, Université de Paris-Sud, 1999.

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera3 Por lo tanto, si: n= número de días del período en estudio (en general grande), X= número de días con altos niveles de polución durante ese período y p= Probabilidad de tener altos niveles de polución (en general muy pequeño), y si pudiera suponerse que los niveles de polución en los distintos días son independientes (IMPORTANTE: en general esto es falso, lo supondremos por simplicidad, ver referencia por tratamiento más realista) Entonces X ~ Bin(n,p)

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera4 Como n es grande y p es pequeño, es prácticamente inabordable el cálculo con la Bin(n,p). Afortunadamente, viene al rescate la distribución de Poisson!!

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera5 Se dice que X tiene distribución de Poisson de parámetro λ si X puede tomar cualquier valor k entero positivo y para cada k es P(X=k)= exp(-λ) λ k /k! Puede demostrarse que si n grande y p pequeño (digamos p<0.1 y np≥1 ), la distribución Bin(n,p) puede aproximarse por una distribución de Poisson de parámetro λ = np

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P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera7 Si X= número de accidentes en el referido lapso, suponiendo que el cometer un error o no en distintos días son hechos totalmente aleatorios e independientes entre sí, tendríamos que X ~ Bin(365x20x50,1/ ); utilizando la aproximación por una Poisson de parámetro 365x20x50/ =3.65 y la probabilidad de tener al menos un accidente es P(X≥1) = 1-P(X=0) = 1-exp(-3.65) =

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera8 Otro ejemplo (lamentablemente) interesante de aplicación de la Poisson: accidentes de tráfico. Si un conductor tiene probabilidad de 1/ de cometer un error al volante en una maniobra de riesgo, pero realiza 50 maniobras de alto riesgo diariamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga al menos un accidente en un lapso de 20 años?

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera9 Conclusión: La probabilidad de accidente es de 97.40%!!!! (y eso sin contar posibles accidentes no debidos a sus maniobras riesgosas) Vale la penar frenar un poco la ansiedad, ¿¿¿no???

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera10 Todos los ejemplos de distribuciones vistos hasta ahora (Hipergeométrica, Binomial, Binomial Negativa, Poisson) son distribuciones discretas. Se dice que una VA X (o su distribución) es discreta si toma valores en un conjunto discreto D (La intersección de D con cualquier intervalo acotado da una cantidad finita de puntos; los enteros es un conjunto discreto, los racionales no) Para una VA X discreta se define su función de probabilidad (o de cuantía) p X por p X (u)= P(X=u), para todo u en D.

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera11 La función de distribución F X (t)= P(X≤ t) se caracteriza por ser monótona no- decreciente, continua por derecha, con límite 0 para t tendiendo a - ∞ y 1 para t tendiendo a + ∞. Además el límite por izquierda en cada punto t es P(X<t), por lo que la distribución es continua en t si y sólo si P(X=t)=0, y si es discontionua en t, el salto de discontinuidad es P(X=t). En toda variable discreta, la función de distribución tiene por gráfica una escalera que va de altura 0 a altura 1 (en el sentido asintótico), donde los escalones se sitúan en el dominio de la función de probabilidad y la altura del escalón es el valor de la función de probabilidad en el punto correspondiente.

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera12 Ejemplo. Supongamos que X es una Bin (5,1/6). Entonces D={0,1,2,3,4,5} y para k en D, p X (k)= C k 5 (1/6) k (5/6) 5-k y luego kpX(k) 00, , , , ,000129

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera13 La función de distribución es F X (t)= 0 si t<0 0, si 0≤ t < 1 0, si 1≤ t < 2 0, si 2≤ t < 3 0, si 3≤ t < 4 0, si 4≤ t < 5 1 si 5≤ t

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera14 Gráfica de la función de probabilidad

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera15 Gráfica de la función de distribución

Repaso: las densidades en la Física En la mecánica del medio continuo (fluídos, estado sólido) se produce la paradoja del continuo: cada punto geométrico (x,y,z), al ser “inmaterial”, no tiene masa, ni carga, ni ninguna magnitud física M, mientras que para cualquier parte A del sólido, de volumen (área o longitud, según la dimensión) positivo, se tiene que M(A)>0. Se define la densidad de la magnitud M en el punto x como el cociente f(x)=M( Δx)/Vol(Δx) cuando Δx es un entorno infinitesimal de x. Si se particiona una parte del sólido A en una grilla de entornitos infinitesimales Δ i y se toma x i un punto de entonces se tendría que, aproximadamente, M(A)= Σ i f(x i )Vol(Δ i ). O sea, en términos de sumas de Riemann: M(A)= ∫ A f (u)du APLICAREMOS ESTA IDEA A LA MAGNITUD PROBABILIDAD. P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perer16

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera17 Una variable X se dice absolutamente continua (AC) si hay una función positiva f X (llamada densidad de probabilidad de X) que cumple que para cualquier intervalo I, (área bajo la curva f X con base I) (La densidad juega en las AC un rol similar a la función de probabilidad en las discretas, reemplazando “suma” por “integral” ) P(X  I)= ∫ I f X (u)du

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P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera19 Observar que, si X AC: a) P(X=t) = 0 para cualquier valor de t. ( por lo tanto, por ejemplo, P(X≤t) = P(X<t) ) b) F X (t)= ∫ (- ,t] f X (u) du c) f X (t)= F X (t)’ en “casi todo punto t”. d) La densidad puede tomar valores mayores que 1, pero debe cumplir que ∫ (- ,  ) f X (u) du = 1

P y E 2012 Clase 5Gonzalo Perera20 OBSERVACIONES: 1)De hecho, el ser no-negativa, integrable y de integral total 1 son Las propiedades que caracterizan las densidades de probabilidad. 2) El adjetivo “ABSOLUTAMENTE” no es ocioso. En el libro de Barry James, cuya referencia se brinda en el texto del curso, hay una detallada presentación de la distribución de Cantor, que es continua pero que se puede probar QUE NO TIENE DENSIDAD. Por ende, hay distribuciones que son continuas y NO SON absolutamente continuas: son las llamadas distribuciones SINGULARES CONTINUAS. Hecha esta salvedad matemática, las distribuciones singulares no son usuales en la Ingeniería, sino que suelen aparecer distribuciones discretas, absolutamente continuas o mezclas de ambos tipos de distribuciones, como se verá.