Tangentes y Áreas Cálculo IV Prof. Antonio Syers
Tangentes Nuestro interés ahora, es encontrar la recta tangente y el área para curvas paramétrizadas en el plano. Supongamos que tenemos una curva C que se puede parametrizar por: y que además, eliminando el parámetro t, podemos escribir como y = F(x). Entonces, sustituyendo la paramétrización en la última ecuación tenemos: g(t) = F(f(t))
Tangentes... y si f , F y g son diferenciables con respecto a t, tenemos que: Luego, si f´(t) 0, se tiene que Esto es,
Tangentes... De la ecuación anterior, se puede observar que la curva tiene tangente horizontal cuando dy/dt 0, siempre que dx/dt 0, y tiene una tangente vertical si dx/dt 0, siempre que dy/dt 0. Por otra parte, sabemos que la segunda derivada se obtiene de derivar la primera derivada, esto es:
Tangentes... Ejemplo Una curva C está definida por las ecuaciones paramétricas a) Mostrar que C tiene dos tangentes en el punto (3,0) b) Encuentre los puntos de C donde la tangente es horizontal y donde sea vertical c) Determine la concavidad de la curva.
Tangentes... Solución. a) Observe que el punto de la curva es el (3,0), esto indica que la curva se corta a ella misma en el punto (3,0). Luego, La pendiente de las rectas tangente cuando es
Tangentes... c) Para calcular la concavidad, calculemos entonces es cóncava hacia arriba si t > 0, y cóncava hacia abajo si t < 0.
Área Sabemos que el área bajo la curva y = f(x) desde a hasta b, está dada por: Luego, si la curva está dada por las ecuaciones paramétricas Con t , entonces el área está dada por:
área... Ejemplo Encontrar el área bajo uno de los ciclos de Solución.