ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 3° ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

donde a , b y c son números reales y a ≠ 0 Una ecuación de la forma : ax2 + bx + c = 0 donde a , b y c son números reales y a ≠ 0 X Y’ X’ Y A B D C E X1 = 0 X2 = 3 ECUACION CUADRATICA

ECUACION CUADRATICA = ELEMENTOS ax2 + bx + c CUADRATICO Segundo Grado INDEPENDIENTE ax2 + bx + c = LINEAL Primer Grado ELEMENTOS

ECUACION CUADRATICA COMPLETA ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS ax2 + bx + c = 0 CUADRATICO + LINEAL + INDEPENDIENTE ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 CUADRATICO + LINEAL CUADRATICO + INDEPENDIENTE

ENCONTRAR EL VALOR DE SUS DOS RAICES RESOLVER UNA ECUACION ENCONTRAR EL VALOR DE SUS DOS RAICES COMPLETANDO UN CUADRADO PROCEDIMIENTO GRAFICO FACTORIZACION FORMULA GENERAL

François Viète (1540 – 1603) Matemático francés. Se le considera uno de los principales precursores del álgebra. Fue el primero en representar los parámetros de una ecuación con letras.

COMPLETANDO UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO FORMULA GENERAL COMPLETANDO UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO RESOLUCION DE PROBLEMAS PROCEDIMIENTO GRAFICO FACTORIZACION

FACTORIZACION

a , b y c son números reales y a ≠ 0 Una ecuación de la forma : ax2 + bx + c = 0 a , b y c son números reales y a ≠ 0 X Y’ X’ Y A B D C E X1 = 0 X2 = 3 ECUACION CUADRATICA

ECUACION CUADRATICA = ELEMENTOS ax2 + bx + c CUADRATICO Segundo Grado INDEPENDIENTE ax2 + bx + c = LINEAL Primer Grado ELEMENTOS

ECUACIONES CUADRATICAS COMPLETAS Ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 Y’ X’ Y A B D E C Eje Real X1 = - 5 X2 = 4 Parábola Secante Ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0

* TRINOMIO CUADRADO EJEMPLO No. 1 x2 + 11x + 30 = ( x + 6 ) ( x + 5 ) Tipo Signos iguales EJEMPLO No. 1 x2 + 11x + 30 = TRINOMIO CUADRADO ( x + 6 ) ( x + 5 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO BINOMIO CON TERMINO COMUN ( x + 6 ) = 0 ( x + 5 ) = 0 x1 = - 6 x2 = - 5 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO + 30 + 1 + 15 + 2 + 10 + 3 Par de números que multiplican + 30 y suman + 11 * + 6 + 5 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO EJEMPLO No. 2 x2 + 13x - 30 = ( x + 15 ) ( x - 2 ) Signo del mayor Signos diferentes EJEMPLO No. 2 x2 + 13x - 30 = TRINOMIO CUADRADO ( x + 15 ) ( x - 2 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO BINOMIO CON TERMINO COMUN ( x + 15 ) = 0 ( x - 2 ) = 0 x1 = - 15 x2 = + 2 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO + 30 - 1 * + 15 - 2 ES LA RESPUESTA Par de números que multiplican - 30 y suman + 13

* TRINOMIO CUADRADO EJEMPLO No. 3 x2 - 3x - 40 = ( x - 8 ) ( x + 5 ) = Signo del mayor Signos diferentes EJEMPLO No. 3 x2 - 3x - 40 = TRINOMIO CUADRADO ( x - 8 ) ( x + 5 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO BINOMIO CON TERMINO COMUN ( x - 8 ) = 0 ( x + 5 ) = 0 x1 = + 8 x2 = - 5 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO - 40 + 1 - 20 + 2 - 10 + 4 Par de números que multiplican - 40 y suman - 3 * - 8 + 5 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD Tipo de signo Signos iguales EJEMPLO No. 4 3x ( 7 ) 9x2 + 21x + 10 = 3x ( 3x + 5 ) ( 3x + 2 ) = PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO Igualamos con cero y resolvemos ( 3x + 5 ) = 0 ( 3x + 2 ) = 0 x1 = - 5/3 x2 = - 5/3 Par de números que multiplican + 10 y suman + 7 + 10 + 1 * + 5 + 2 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD EJEMPLO No. 5 Signo del mayor Signos diferentes 5x ( 8 ) 25x2 + 40x - 9 = 5x PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO ( 5x + 9 ) ( 5x - 1 ) = Igualamos con cero y resolvemos ( 5x + 9 ) = 0 ( 5x - 1 ) = 0 x1 = - 9/5 x2 = 1/5 * Par de números que multiplican - 9 y suman + 8 + 9 - 1 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO COEFICIENTE CUADRATICO DIFERENTE DE LA UNIDAD Signos diferentes EJEMPLO No. 6 Signo del mayor 7x ( 2 ) 49x2 + 14x - 3 = 7x PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO ( 7x + 3 ) ( 7x - 1 ) = Igualamos con cero y resolvemos ( 7x + 3 ) = 0 ( 7x - 1 ) = 0 x1 = - 3/7 x2 = 1/7 * + 3 - 1 Par de números que multiplican - 3 y suman + 2 ES LA RESPUESTA

* * TRINOMIO CUADRADO - COEFICIENTE NO CUADRATICO EJEMPLO No. 7 15 5x2 por 5x2 + 14x - 3 = PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO Sustituimos * ( 5x2 + 15x ) - ( x - 3 ) = 5x ( x + 3 ) - 1( x + 3 ) = Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio ( 5x - 1 ) ( x + 3 ) = Igualamos con cero y resolvemos ( 5x - 1 ) = 0 ( x + 3 ) = 0 x1 = 1/5 x2 = - 3 Par de números que multiplican - 15 y suman + 14 * + 15 - 1 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO COEFICIENTE NO CUADRATICO EJEMPLO No. 8 70 7x2 por 7x2 - 33x - 10 = PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO Sustituimos ( 7x2 - 35x ) + ( 2x - 10 ) = 7x ( x - 5 ) + 2( x - 5 ) = Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio ( 7x + 2 ) ( x - 5 ) = Igualamos con cero y resolvemos ( 7x + 2 ) = 0 ( x - 5 ) = 0 x1 = - 2/7 x2 = 5 Par de números que multiplican - 70 y suman - 33 * - 35 + 2 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO CUALQUIERA EJEMPLO No. 9 24 8x2 - 23x - 3 = ( 8x2 por 8x2 - 23x - 3 = PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO Sustituimos ( 8x2 - 24x ) + ( x - 3 ) = 8x ( x - 3 ) + 1( x - 3 ) = Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio ( 8x + 1 ) ( x - 3 ) = Igualamos con cero y resolvemos ( 8x + 1 ) = 0 ( x - 3 ) = 0 x1 = - 1/8 x2 = 3 Par de números que multiplican - 24 y suman - 23 * - 24 + 1 ES LA RESPUESTA

* TRINOMIO CUADRADO CUALQUIERA EJEMPLO No. 10 30 3x2 + 11x + 10 = ( por 3x2 + 11x + 10 = PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO Sustituimos ( 3x2 + 6x ) + ( 5x + 10 ) = 3x ( x + 2 ) + 5( x + 2 ) = Se forma dos parejas y buscamos factor común monomio ( 3x + 5 ) ( x + 2 ) = Igualamos con cero y resolvemos ( 3x + 5 ) = 0 ( x - 3 ) = 0 x1 = - 5/3 x2 = 3 Par de números que multiplican + 30 y suman + 11 * + 6 + 5 ES LA RESPUESTA

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 + 17x + 66 = 0 ( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0 x1 = - 11 y x2 = - 6 x2 - x - 56 = 0 ( x - 8 ) ( x + 7 ) = 0 x1 = 8 y x2 = - 7 x2 - 11x - 26 = 0 ( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0 x1 = 13 y x2 = - 2 x2 - 18x + 72 = 0 ( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 12 y x2 = 6 x2 + 19x + 70 = 0 ( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0 x1 = - 14 y x2 = - 5 x2 - 8x + 7 = 0 ( x - 7 ) ( x - 1 ) = 0 x1 = 7 y x2 = 1 x2 - 19x + 78 = 0 ( x - 13 ) ( x - 1 ) = 0 x1 = 13 y x2 = 1

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 + 17x + 66 = 0 ( x + 11 ) ( x + 6 ) = 0 x1 = - 11 y x2 = - 6 x2 - x - 56 = 0 ( x - 8 ) ( x + 7 ) = 0 x1 = 8 y x2 = - 7 x2 - 11x - 26 = 0 ( x - 13 ) ( x + 2 ) = 0 x1 = 13 y x2 = - 2 x2 - 18x + 72 = 0 ( x - 12 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 12 y x2 = 6 x2 + 19x + 70 = 0 ( x + 14 ) ( x + 5 ) = 0 x1 = - 14 y x2 = - 5 x2 - 8x + 7 = 0 ( x - 7 ) ( x - 1 ) = 0 x1 = 7 y x2 = 1 x2 - 19x + 78 = 0 ( x - 13 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 13 y x2 = 6

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 - 8x - 9 = 0 ( x - 9 ) ( x + 1 ) = 0 x1 = 9 y x2 = - 1 x2 + 21x + 90 = 0 ( x + 15 ) ( x + 6 ) = 0 x1 = - 15 y x2 = - 6 x2 - 3x - 88 = 0 ( x - 11 ) ( x + 8 ) = 0 x1 = 11 y x2 = - 8 x2 + 3x - 108 = 0 ( x + 12 ) ( x - 9 ) = 0 x1 = -12 y x2 = 9 x2 - 13x + 42 = 0 ( x - 7 ) ( x - 6 ) = 0 x1 = 7 y x2 = 6 x2 + 15x + 50 = 0 ( x + 10 ) ( x + 5 ) = 0 x1 = -10 y x2 = - 5 x2 + 10x - 39 = 0 ( x + 13 ) ( x - 3 ) = 0 x1 = -13 y x2 = 3

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 121x2 + 22x – 3 = 0 ( 11 x + 3 ) ( 11x + 1 ) = 0 x1 = - 3/11 y x2 = 1/11 9x2 - 9x - 70 = 0 ( 3x + 7 ) ( 3x – 10 ) = 0 x1 = -7/3 y x2 = 10/3 64x2 + 16x + 2 = 0 ( 8x + 1 ) ( 8x + 1 ) = 0 x1 = - 1/8 y x2 = -1/8 36x2 - 72x + 32 = 0 ( 6x - 8 ) ( 6x - 4 ) = 0 x1 = 8/3 y x2 = 4/3 25x2 + 55x - 26 = 0 ( 5x + 13 ) ( 5x – 2 ) = 0 x1 = -13/5 y x2 = 2/5 49x2 + 42x + 5 = 0 ( 7x + 5 ) ( 7x + 1 ) = 0 x1 = -5/7 y x2 = - 1/7 81x2 + 54x - 16 = 0 ( 9x - 8 ) ( 9x + 2 ) = 0 x1 = - 8/9 y x2 = 2/9

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 4x2 + 6x – 54 = 0 ( 2x + 9 ) ( 2x - 3 ) = 0 x1 = - 9/2 y x2 = 3 49x2 - 70x + 16 = 0 ( 7x - 2 ) ( 7x - 8 ) = 0 x1 = 2/7 y x2 = 8/7 16x2 + 44x - 12 = 0 ( 4x + 12 ) ( 4x - 1 ) = 0 x1 = - 3 y x2 = 1/4 25x2 + 60x + 27 = 0 ( 5x + 9 ) ( 5x + 3 ) = 0 x1 = -9/5 y x2 = - 3/5 100x2 + 40x – 12 = 0 ( 10x + 6 ) ( 10x - 2 ) = 0 x1 = -3/5 y x2 = 1/5 9x2 + 39x + 42 = 0 ( 3x + 7 ) ( 3x + 6 ) = 0 x1 = -7/3 y x2 = -2 36x2 - 30x + 4 = 0 ( 6x - 4 ) ( 6x - 1 ) = 0 x1 = 2/3 y x = 1/6

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 12x2 - 10x – 12 = 0 ( 4x – 6 ) ( 3x + 2 ) = 0 x1 = 3/2 y x2 = -2/3 3x2 + 5x – 42 = 0 ( 3x + 14 ) ( x - 3 ) = 0 x1 = - 14/3 y x2 = 3 14x2 - 3x - 5 = 0 ( 7x – 5 ) ( 2x + 1 ) = 0 x1 = 5/7 y x2 = -1/2 6x2 - 10x - 16 = 0 ( 2x + 2 ) ( 3x - 8 ) = 0 x1 = -1 y x2 = 8/3 18x2 - 25x – 3 = 0 ( 9x + 1 ) ( 2x – 3 ) = 0 x1 = -1/9 y x2 = 3/2 6x2 - 17x - 45 = 0 ( 3x + 5 ) ( 2x – 9 ) = 0 x1 = -5/3 y x2 = 9/2 10x2 - 34x + 12 = 0 ( 5x - 2 ) ( 2x - 6 ) = 0 x1 = 2/5 y x2 = 3

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 2x2 - 15x – 77 = 0 ( 2x + 7 ) ( x – 11 ) = 0 x1 = -7/2 y x2 = 11 2x2 + 4x - 30 = 0 ( 2x + 10 ) ( x - 3 ) = 0 x1 = - 5 y x2 = 3 6x2 - x - 35 = 0 ( 3x + 7 ) ( 2x - 5 ) = 0 x1 = -7/3 y x2 = 5/2 6x2 + 3x - 30 = 0 ( 2x + 5 ) ( 3x – 6 ) = 0 x1 = -5/2 y x2 = 2 15x2 + 25x – 40 = 0 ( 5x – 5 ) ( 3x + 8 ) = 0 x1 = 1 y x2 = -8/3 8x2 - 29x - 42 = 0 ( 8x + 3 ) ( x - 4 ) = 0 x1 = - 3/8 y x2 = 4 3x2 - 4x - 7 = 0 ( 3x - 7 ) ( x + 1 ) = 0 x1 = 7/3 y x2 = 1

ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS Ecuación de la forma ax2 + bx = 0 Y’ X’ Y A B D C E Eje Real Parábola Secante X1 = 0 X2 = 3 Ecuación de la forma ax2 + bx = 0

* FACTOR COMUN EJEMPLO No. 1 x2 + 11x = ( x + 11 ) x = Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0 EJEMPLO No. 1 x2 + 11x = Factor común PRODUCTO FACTOR COMUN POR BINOMIO ( x + 11 ) x = Igualamos con cero y resolvemos x = 0 x + 11 = 0 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO x1 = 0 x2 = - 11 * UNA DE SUS RAICES ES CERO

* FACTOR COMUN EJEMPLO No. 2 5x2 - 15x = ( x - 3 ) 5x = Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0 EJEMPLO No. 2 5x2 - 15x = Factor común PRODUCTO FACTOR COMUN POR BINOMIO ( x - 3 ) 5x = Igualamos con cero y resolvemos 5x = 0 x - 3 = 0 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO x1 = 0 x2 = 3 * UNA DE SUS RAICES ES CERO

* FACTOR COMUN EJEMPLO No. 3 9x2 + 18x = ( x + 2 ) 9x = Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0 EJEMPLO No. 3 9x2 + 18x = Factor común PRODUCTO FACTOR COMUN POR BINOMIO ( x + 2 ) 9x = Igualamos con cero y resolvemos 9x = 0 x + 2 = 0 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO x1 = 0 x2 = - 2 * UNA DE SUS RAICES ES CERO

* FACTOR COMUN EJEMPLO No. 4 7x2 - 35x = ( x - 5 ) 7x = Ecuación de la forma ax2 ± bx = 0 EJEMPLO No. 4 7x2 - 35x = Factor común PRODUCTO FACTOR COMUN POR BINOMIO ( x - 5 ) 7x = Igualamos con cero y resolvemos 7x = 0 x - 5 = 0 PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO x1 = 0 x2 = 5 * UNA DE SUS RAICES ES CERO

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 + 17x = 0 x ( x + 17 ) = 0 x1 = 0 y x2 = - 17 x2 - x = 0 x ( x - 1 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 1 x2 - 11x = 0 x ( x - 11 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 11 x2 - 18x = 0 x ( x - 18 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 18 x2 + 19x = 0 x ( x + 19 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -19 x2 - 8x = 0 x (( x - 8 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 8 x2 - 10x = 0 X ( x - 10 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 10

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 4x2 + 6x = 0 2x ( 2x + 3 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -3/2 49x2 - 10x = 0 x ( 49x – 10 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 10/49 16x2 + 44x = 0 4x ( 4x + 11 ) = 0 x1 = 0 y x2 = - 11/4 25x2 + 60x = 0 5x ( 5x + 12 ) = 0 x1 = 0 y x2 = - 12/5 100x2 + 40x = 0 20x ( 5x + 2 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -2/5 9x2 + 39x = 0 3x ( 3x + 13 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -13/3 36x2 - 30x = 0 6x ( 6x - 5 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 5/6

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . FACTORIZACION Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 2x2 - 15x = 0 x ( 2x - 15 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 15/2 2x2 + 4x = 0 2x ( x + 2 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -2 6x2 - x = 0 x ( 6x - 1 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 1/6 6x2 + 3x = 0 3x ( 2x + 1 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -1/2 15x2 + 25x = 0 5x ( 3x + 5 ) = 0 x1 = 0 y x2 = -5/3 8x2 - 29x = 0 x ( 8x - 29 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 29/8 3x2 - 4x = 0 x ( 3x - 4 ) = 0 x1 = 0 y x2 = 4/3

ECUACIONES CUADRATICAS INCOMPLETAS Ecuación de la forma ax2 + c = 0 Y’ X’ Y A B D C E Eje Real Parábola Secante X1 = - 1 X2 = 1 Ecuación de la forma ax2 + c = 0

DIFERENCIA DE CUADRADOS Ecuación de la forma ax2 - c = 0 EJEMPLO No. 1 x2 - 36 = x 6 PRODUCTO BINOMIO CONJUGADOS ( x + 6 ) ( x - 6 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO x + 6 = 0 x - 6 = 0 x1 = - 6 x2 = 6 RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS

DIFERENCIA DE CUADRADOS Ecuación de la forma ax2 - c = 0 EJEMPLO No. 2 x2 - 81 = x 6 PRODUCTO BINOMIO CONJUGADOS ( x + 9 ) ( x - 9 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO x + 9 = 0 x - 9 = 0 x1 = - 9 x2 = 9 RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS

DIFERENCIA DE CUADRADOS Ecuación de la forma ax2 - c = 0 EJEMPLO No. 3 4x2 - 49 = 2x 6 PRODUCTO BINOMIO CONJUGADOS ( 2x + 7 ) ( 2x - 7 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO 2x + 7 = 0 2x - 7 = 0 x1 = - 7/2 x2 = 7/2 RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS

DIFERENCIA DE CUADRADOS Ecuación de la forma ax2 - c = 0 EJEMPLO No. 3 25x2 - 81 = 5x 9 PRODUCTO BINOMIO CONJUGADOS ( 5x + 9 ) ( 5x - 9 ) = Igualamos con cero y resolvemos PRODUCTO FACTORES LINEALES IGUALADOS CON CERO 5x + 9 = 0 5x - 9 = 0 x1 = - 9/5 x2 = 9/5 RAICES DE LA ECUACION SON SIMETRICAS

DIFERENCIA DE CUADRADOS Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 - 16 = 0 ( x + 4 ) ( x - 4 ) = 0 x1 = 4 y x2 = 4 81x2 - 36 = 0 ( 9x + 6 ) ( 9x – 6 ) = 0 x1 = - 2/3 y x2 = 2/3 b2 - 64 = 0 ( b + 8 ) ( b – 8 ) = 0 b1 = - 8 y b2 = 8 x2 - 4 = 0 ( x + 2 ) ( x - 2 ) = 0 x1 = - 2 y x2 = 2 100x2 - 25 = 0 (10x + 5 ) (10x - 5 ) = 0 x1 = - 1/2 y x2 = 1/2 x2 - 81 = 0 ( x + 9 ) ( x - 9 ) = 0 x1 = - 9 y x2 = 9 9a2 - 121 = 0 ( 3a + 11 ) ( 3a – 11 ) = 0 a1 = - 11/3 y a2 = 11/3

DIFERENCIA DE CUADRADOS Resuelve los ejercicios en tu cuaderno. Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 - 36 = 0 ( x + 6 ) ( x – 6 ) = 0 x1 = - 6 y x2 = 6 81x2 - 49 = 0 ( 9x + 7 ) ( 9x - 7 ) = 0 x1 = - 7/9 y x2 = 7/9 b2 - 100 = 0 ( b + 10 ) ( b – 10 ) = 0 b1 = - 10 y b2 = 10 x2 - 144 = 0 ( x + 12 ) ( x - 12 ) = 0 x1 = - 12 y x2 = 12 100x2 - 49 = 0 (10x + 7 ) (10x - 7 ) = 0 x1 = - 7/10 y x2 = 7/10 x2 - 25 = 0 ( x + 5 ) ( x - 5 ) = 0 x1 = -5 y x2 = 5 9y2 - 9 = 0 ( 3b + 3 ) ( 3b – 3 ) = 0 b1 = - 1 y b2 = 1

Johann Carl Friedrich Gauss ( 1777 – 1855 ) MENU Johann Carl Friedrich Gauss ( 1777 – 1855 ) “El príncipe de los matemáticos” Título póstumo con que se ha conocido a Gauss, que junto a Arquímedes y Newton, es uno de los tres genios de la historia de las matemáticas.

COMPLETANDO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

( x + 7 )2 MULTIPLICA LAS SIGUIENTES EXPRESIONES ( x + 7 ) ( x + 7 ) = + 49 = x2 + 14x + 49 ANALIZA LAS EXPRESIONES QUE MULTIPLICASTE ¿ QUE OBSERVAS ? ( x + 7 ) ( x + 7 ) LOS BINOMIOS SON IGUALES ¿ DE QUE OTRA MANERA SE PUEDE REPRESENTAR ( x + 7 )2

( x + 7 ) ( x + 7 ) = x2 + 7x + 7x + 49 = x2 + 14x + 49 ( x + 7 )2 = + 49 = x2 + 14x + 49 ( x + 7 )2 = x2 + 14x + 49 2 ( 7 ) ( x ) x • x 7 • 7 Doble producto Primero por segundo Cuadrado del primer término Cuadrado del segundo término BINOMIO AL CUADRADO TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

CARACTERISTICAS DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO x2 + 14x + 49 2 ( X ) ( 7 ) x • x 7 • 7 Doble producto Primero por segundo Cuadrado del segundo término Cuadrado del primer término

COMPLETAR EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO EJEMPLO No. 1 x2 + 12x + 32 = Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación: x2 + 12x = - 32 Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal: x2 + 12x + 36 = - 32 + 36 12 : 2 = 6 , 62 = 36 Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el segundo miembro: ( x + 6 )2 = 4 Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación: x + 6 = ± 2 Se buscan las dos raíces de la ecuación: x + 6 = + 2 , x = + 2 - 6 x + 6 = - 2 , x = - 2 - 6 x1 = - 4 x2 = - 8

EJEMPLO No. 2 x2 + 10x + 21 = x2 + 10x = - 21 x2 + 10x + 25 = - 21 + 21 = Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación: x2 + 10x = - 21 Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal: x2 + 10x + 25 = - 21 + 25 10 : 2 = 5 , 52 = 25 Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el segundo miembro: ( x + 5 )2 = 4 Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación: x + 5 = ± 2 Se buscan las dos raíces de la ecuación: x + 5 = + 2 x + 5 = - 2 x = + 2 - 5 x = - 2 - 5 x1 = - 3 x2 = - 7

EJEMPLO No. 3 x2 - 8x + 15 = x2 - 8x = - 15 x2 - 8x + 16 = - 15 + 16 + 15 = Se transpone el término independiente al segundo miembro de la ecuación: x2 - 8x = - 15 Para que el primer miembro resulte un cuadrado perfecto, añadimos a ambos miembros de la ecuación , el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal: x2 - 8x + 16 = - 15 + 16 8 : 2 = 4 , 42 = 16 Se factoriza el primer miembro de la ecuación en un binomio al cuadrado y reducimos en el segundo miembro: ( x - 4 )2 = 1 Se extrae la raíz cuadrada en cada miembro de la ecuación: x - 4 = ± 1 Se buscan las dos raíces de la ecuación: x - 4 = + 1 x - 4 = - 1 x = + 1 + 4 x = - 1 + 4 x1 = 5 x2 = 3

EJEMPLO No. 4 x2 - 8x - 20 = x2 - 8x = + 20 x2 - 8x + 16 = + 20 + 16 - 20 = TRANSPONER x2 - 8x = + 20 x2 - 8x + 16 = + 20 + 16 COMPLETAR CUADRADO 8 : 2 = 4 , 42 = 16 ( x - 4 )2 = 36 FACTORIZAR Y REDUCIR x - 4 = ± 6 EXTRAER RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x - 4 = + 6 x - 4 = - 6 x = + 6 + 4 x = - 6 + 4 x1 = 10 x2 = - 2

EJEMPLO No. 5 x2 - 6x - 55 = x2 - 6x = + 55 x2 - 6x + 9 = + 55 + 9 - 55 = TRANSPONER x2 - 6x = + 55 x2 - 6x + 9 = + 55 + 9 COMPLETAR CUADRADO 6 : 2 = 3 , 32 = 9 ( x - 3 )2 = 64 FACTORIZAR Y REDUCIR x - 3 = ± 8 EXTRAER RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x - 3 = + 8 x - 3 = - 8 x = + 8 + 3 x = - 8 + 3 x1 = 11 x2 = - 5

EJEMPLO No. 6 x2 - 3x - 40 = x2 - 3x = + 40 x2 - 3x + 9 4 = + 40 + 9 4 - 40 = TRANSPONER x2 - 3x = + 40 x2 - 3x + 9 4 = + 40 + 9 4 COMPLETAR CUADRADO 3 : 2 = 3/2 , (3/2)2 = 9/4 ( x - 3 )2 2 = 169 4 FACTORIZAR Y REDUCIR 40 (4) + 9 = 169/4 EXTRAER RAIZ CUADRADA x - 3/2 = ± 13/2 BUSCAMOS RAICES x - 3/2 = + 13/2 x - 3/2 = - 13/2 x = + 13/2 + 3/2 x = - 13/2 + 3/2 x1 = 8 x2 = - 5

EJEMPLO No. 7 x2 + 5x - 36 = x2 + 5x = + 36 x2 + 5x + 25 4 = + 36 + 25 - 36 = TRANSPONER x2 + 5x = + 36 x2 + 5x + 25 4 = + 36 + 25 4 COMPLETAR CUADRADO 5 : 2 = 5/2 , (5/2)2 = 25/4 ( x + 5 )2 2 = 169 4 FACTORIZAR Y REDUCIR 36 (4) + 25 = 169/4 x + 5/2 = ± 13/2 EXTRAER RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x + 5/2 = + 13/2 x + 5/2 = - 13/2 x = + 13/2 - 5/2 x = - 13/2 - 5/2 x1 = 4 x2 = - 9

EJEMPLO No. 8 DIVIDIR ENTRE 2 Y TRANSPONER COMPLETAR CUADRADO 2x2 + 7x + 5 = DIVIDIR ENTRE 2 Y TRANSPONER x2 + 7 x 2 = - 5 2 x2 + 7 x 2 + 49 16 = - 5 2 + 49 16 COMPLETAR CUADRADO 7/2 : 2 = 7/4 , (7/4)2 = 49/16 ( x + 7 )2 4 = 9 16 FACTORIZAR Y REDUCIR -5 (8) + 49 = 9/16 EXTRAER RAIZ CUADRADA x + 7 4 = ± 3 4 BUSCAMOS RAICES x + 7/4 = + 3/4 x + 7/4 = - 3/4 x = + 3/4 - 7/4 x = - 3/4 - 7/4 x1 = - 1 x2 = - 5/2

EJEMPLO No. 9 7x2 - 27x - 4 = x2 - 27 x 7 = + 4 7 x2 - 27 x 7 + 729 - 4 = DIVIDIR ENTRE 7 Y TRANSPONER x2 - 27 x 7 = + 4 7 x2 - 27 x 7 + 729 196 = + 4 7 + 729 196 COMPLETAR CUADRADO 27/7 : 2 = 27/14 , (27/14)2 = 729/196 ( x - 27 )2 14 = 841 196 FACTORIZAR Y REDUCIR 4 (28) + 729 = 841/196 EXTRAER RAIZ CUADRADA x - 27 14 = ± 29 14 BUSCAMOS RAICES x - 27/14 = + 29/14 x - 27/14 = - 29/14 x = + 29/14 + 27/14 x = - 29/14 + 27/14 x1 = 4 x2 = - 1/7

EJEMPLO No. 10 5x2 - 7x - 6 = x2 - 7 x 5 = + 6 5 x2 - 7 x 5 + 49 100 = - 6 = DIVIDIR ENTRE 5 Y TRANSPONER x2 - 7 x 5 = + 6 5 x2 - 7 x 5 + 49 100 = + 6 5 + 49 100 COMPLETAR CUADRADO 7/5 : 2 = 7/10 , (7/10)2 = 49/100 ( x - 7 )2 10 = 169 100 FACTORIZAR Y REDUCIR 6 (20) + 49 = 169/100 EXTRAER RAIZ CUADRADA x - 7 10 = ± 13 10 BUSCAMOS RAICES x - 7/10 = + 13/10 x - 7/10 = - 13/10 x = + 13/10 + 7/10 x = - 13/10 + 7/14 x1 = 2 x2 = - 3/5

COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 + 14x + 45 = TRANSPONER x2 + 14x = - 45 x2 + 14x + 49 = - 45 + 49 COMPLETAR CUADRADO ( x + 7 )2 = 4 FACTORIZAR Y REDUCIR x + 7 = ± 2 EXTRAER RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x + 7 = + 2 x + 7 = - 2 x = + 2 - 7 x = - 2 - 7 x1 = - 5 x2 = - 9

COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 - 12x - 45 = TRANSPONER x2 - 12x = + 45 x2 - 12x + 36 = + 45 + 36 COMPLETAR CUADRADO ( x - 6 )2 = 81 FACTORIZAR Y REDUCIR x - 6 = ± 9 EXTRAER RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x - 6 = + 9 x - 6 = - 9 x = + 9 + 6 x = - 9 + 6 x1 = 15 x2 = - 3

COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse x2 - 3x - 54 = TRANSPONER x2 - 3x = + 54 x2 - 3x + 9 4 = + 54 + 9 4 COMPLETAR CUADRADO ( x - 3 )2 2 = 225 4 FACTORIZAR Y REDUCIR x - 3/2 = ± 15/2 EXTRAER RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x - 3/2 = + 15/2 x - 3/2 = - 15/2 x = + 15/2 + 3/2 x = - 15/2 + 3/2 x1 = 9 x2 = - 6

COMPLETAR TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 7x2 + 20x - 3 = DIVIDIR ENTRE 7 Y TRANSPONER x2 + 20x 7 = + 3 7 x2 + 20x 7 + 400 196 = + 3 7 + 400 196 COMPLETAR CUADRADO ( x + 20 )2 14 = 484 196 FACTORIZAR Y REDUCIR = x + 20/14 ± 22/14 EXTRAEMOS RAIZ CUADRADA BUSCAMOS RAICES x + 20/14 = + 22/14 x + 20/14 = - 22/14 x = + 22/14 - 20/14 x = - 22/14 - 20/14 x1 = 1/7 x2 = - 3

PROPUSO la teoría de las funciones complejas. MENU AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789 – 1857)  pionero en el análisis matemático y la teoría de grupos de permutaciones. uno de los matemáticos más importantes de la historia. PROPUSO la teoría de las funciones complejas.

FORMULA GENERAL

DEDUCCION DE LA FORMULA GENERAL APLICAMOS EL PROCEDIMIENTO DE COMPLETAR UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO ax2 + bx + c = Dividir entre “a” y transponer x2 + b x a = - c a x2 + b x a + b2 4a2 = - c a + b2 4a2 Completar el cuadrado b/a : 2 = b/2a , (b/2a)2 = b2/4a2 ( x + b )2 2a b2 – 4ac 4a2 Factorizar y reducir = x + b 2a b2 - 4ac 2a = ± Extraer raíz cuadrada Buscamos raíces de la ecuación Reducimos a un denominador común x = - b 2a ± b2 - 4ac 2a x - b ± b2 - 4ac = 2a

UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES FORMULA GENERAL ± - b b2 - 4ac x = 2a UNA ECUACION DE SEGUNDO GRADO TIENE DOS RAICES + - - b b2 - 4ac - b b2 - 4ac x1 = x2 = 2a 2a b2 - 4ac DISCRIMINANTE

DISCRIMINANTE b2 - 4ac > 0 b2 - 4ac = 0 b2 - 4ac < 0 Raíces reales y desiguales Por ejemplo: 3x2 + 5x - 2 = 0 a = 3 , b = 5 y c = - 2 ( 5 )2 - 4 ( 3 ) ( - 2 ) = 25 + 24 = 49 x1 = 1/3 , x2 = - 2 b2 - 4ac = 0 Raíces reales e iguales Por ejemplo: 36x2 + 12x + 1 = 0 a = 36 , b = 12 y c = 1 ( 12 )2 - 4 ( 36 ) ( 1 ) = 144 - 144 = 0 x1 = - 1/6 , x2 = - 1/6 b2 - 4ac < 0 Raíces imaginarias y desiguales Por ejemplo: x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 , b = - 4 y c = 8 ( - 4 )2 - 4 ( 1 ) ( 8 ) = 16 - 32 = - 16 x1 = 2 + 2i , x2 = 2 – 2i

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 1 x2 + 9x + 14 = 0 a = 1 b = 9 c = 14 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - ( 9 ) ( 9 )2 - 4( 1 ) ( 14 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 1 ) ± - 9 81 - 56 x = BUSCANDO RAICES 2 ± + - 9 25 - 9 5 x - 2 = x1 = = 2 2 ± - - 9 5 x - 9 5 = x2 - 7 = = 2 2

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 2 x2 - 7x - 44 = 0 a = 1 b = -7 c = - 44 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-7 ) ( -7 )2 - 4( 1 )(- 44 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 1 ) ± + 7 49 + 176 x = BUSCANDO RAICES 2 ± + + 7 225 + 7 15 x 11 = x1 = = 2 2 ± - + 7 15 x + 7 15 = x2 - 4 = = 2 2

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 3 2x2 - 7x - 15 = 0 a = 2 b = -7 c = - 15 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-7 ) ( -7 )2 - 4( 2 )(- 15 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 2 ) ± + 7 49 + 120 x = BUSCANDO RAICES 4 ± + + 7 169 + 7 13 x 5 = x1 = = 4 4 ± - + 7 13 x + 7 13 3 2 = x2 = = 4 4

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 4 5x2 - 14x - 3 = 0 a = 5 b = -14 c = - 3 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-14 ) ( -14 )2 - 4( 5 )(- 3 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 5 ) ± + 14 196 + 60 x = BUSCANDO RAICES 10 ± + + 14 256 + 14 16 x 3 = x1 = = 10 10 ± - + 14 16 x + 14 16 1 5 = x2 = = 4 10

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 5 6x2 - 20x + 6 = 0 a = 6 b = -20 c = 6 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (-20 ) ( -20 )2 - 4( 6 )( 6 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 6 ) ± + 20 400 - 144 x = BUSCANDO RAICES 12 ± + + 20 256 + 20 16 x = x1 = = 3 12 12 ± - + 20 16 + 20 16 x 1 3 = x2 = = 12 12

REALIZANDO OPERACIONES FORMULA GENERAL EJEMPLO 6 x2 - 4x + 8 = 0 a = 1 b = - 4 c = 8 ± - b b2 - 4ac x SUSTITUYENDO VALORES = 2a ± - (- 4 ) ( - 4 )2 - 4( 1 )( 8 ) x REALIZANDO OPERACIONES = 2( 1 ) ± + 4 16 - 32 x = BUSCANDO RAICES 2 ± + + 4 - 16 + 4 4 i x = x1 = = 2 + 2 i 2 2 ± - + 4 4 i + 4 4 i x = 2 – 2 i x2 = = 2 2

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . REALIZANDO OPERACIONES Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 4x2 + 2x - 6 = 0 COEFICIENTES a = 4 b = + 2 c = - 6 ± x - b = b2 - 4ac 2a SUSTITUYENDO VALORES ± x - ( 2 ) = ( 2 )2 - 4( 4 )( - 6 ) 2( 4 ) REALIZANDO OPERACIONES x - 2 ± = 4 + 96 8 BUSCANDO RAICES x - 2 ± = 100 8 x1 - 2 + = 10 8 1 x - 2 ± = 10 8 x2 - 2 - = 10 - 3 2 8

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . REALIZANDO OPERACIONES Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 2x2 + x - 105 = 0 COEFICIENTES a = 2 b = + 1 c = -105 ± x - b = b2 - 4ac 2a SUSTITUYENDO VALORES ± x - ( 1 ) = ( 1 )2 - 4( 2 )( - 105 ) 2( 2 ) REALIZANDO OPERACIONES x - 1 ± = 1 + 840 4 BUSCANDO RAICES x - 1 ± = 841 4 x1 - 1 + = 29 4 7 x - 1 ± = 29 4 x2 - 1 - = 29 - 15 2 4

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . REALIZANDO OPERACIONES Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse 8x2 - 2x - 3 = 0 COEFICIENTES a = 8 b = - 2 c = - 3 ± x - b = b2 - 4ac 2a SUSTITUYENDO VALORES ± x - (- 2 ) = ( - 2 )2 - 4( 8 )( - 3 ) 2( 8 ) REALIZANDO OPERACIONES x + 2 ± = 4 + 96 16 BUSCANDO RAICES x + 2 ± = 100 16 x1 + 2 + = 10 16 3 4 x + 2 ± = 10 16 x2 + 2 - = 10 - 1 2 16

planteO la resoluciOn de diversAs ecuaciones de la forma x³+ px = q MENU NICCOLO FONTANA (1499 – 1557 ) planteO la resoluciOn de diversAs ecuaciones de la forma x³+ px = q

PROCEDIMIENTO GRAFICO

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 1 Y x y Puntos - 3 8 A ( -3 , 8 ) * - 1 B ( -1 , 0 ) E Ceros de función 1 C ( 0 , -1 ) A 1 D ( 1 , 0 ) * 3 8 E ( 3 , 8 ) Eje Real B D X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y C X1 = - 1 X2 = 1 y = ( - 3 ) 2 - 1 = 9 - 1 = 8 y = ( - 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0 Parábola Secante y = ( 0 )2 - 1 = - 1 y = ( 1 )2 - 1 = 1 - 1 = 0 Escala 1: 2 Vertical Y’ y = ( 3 )2 - 1 = 9 - 1 = 8

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - x - 6 Y x y Puntos A - 3 6 A ( -3 , 6 ) * - 2 B ( -2 , 0 ) - 6 C ( 0 , - 6 ) Ceros de función 2 - 4 D ( 2 ,- 4 ) * 3 E ( 3 , 0 ) Eje Real E B X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y X1 = - 2 X2 = 3 y = ( - 3 ) 2 - ( -3 ) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 y = ( - 2 )2 - ( -2 ) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0 D y = ( 0 )2 - ( 0 ) - 6 = - 6 Parábola Secante y = ( 2 )2 - ( 2 ) - 6 = 4 - 2 - 6 = - 4 C Y’ y = ( 3 )2 - ( 3 ) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 4 Y x y Puntos - 3 5 A ( -3 , 5 ) A E * - 2 B ( -2 , 0 ) Ceros de función - 4 C ( 0 , - 4 ) 2 D ( 2 , 0 ) * 3 5 E ( 3 , 5 ) Eje Real B D X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y X1 = - 2 X2 = 2 y = ( - 3 ) 2 - 4 = 9 - 4 = 5 y = ( - 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0 Parábola Secante y = ( 0 )2 - 4 = - 4 C y = ( 2 )2 - 4 = 4 - 4 = 0 Y’ y = ( 3 )2 - 4 = 9 - 4 = 5

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 3X Y x y Puntos A - 3 18 A ( -3 , 18 ) - 2 10 B ( -2 , 10 ) C ( 0 , 0 ) * B Ceros de función 2 - 2 D ( 2 , - 2 ) * 3 E ( 3 , 0 ) E Eje Real C X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y D X1 = 0 X2 = 3 y = ( - 3 ) 2 - 3 ( - 3 ) = 9 + 9 = 18 y = ( - 2 )2 - 3 ( - 2 ) = 4 + 6 = 10 Parábola Secante y = ( 0 )2 - 3 ( 0 ) = 0 y = ( 2 )2 - 3 ( 2 ) = 4 – 6 = - 2 Escala 1: 3 Vertical Y’ y = ( 3 )2 - 3 ( 3 ) = 9 – 9 = 0

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 + x - 20 Y x y Puntos - 5 A ( -5 , 0 ) * - 2 - 18 B ( -2,-18 ) Ceros de función - 20 C ( 0 ,-20 ) X1 = - 5 E * 4 D ( 4 , 0 ) 5 10 E ( 5 , 10 ) Eje Real A X’ X Asignamos valores a x D Buscamos valores de y y = ( - 5 ) 2 + ( -5 ) - 20 = 25 - 5 - 20 = 0 X2 = 4 y = ( - 2 )2 + ( -2 ) - 20 = 4 - 2 - 20 = - 18 y = ( 0 )2 + ( 0 ) - 20 = - 20 B Parábola Secante y = ( 4 )2 + ( 4 ) - 20 = 16 + 4 - 20 = 0 C Y’ Escala 1: 4 Vertical y = ( 5 )2 + ( 5 ) - 20 = 25 + 5 - 20 = 10

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 10x + 25 Y x y Puntos Cero de función Múltiple - 5 100 A( -5 ,100 ) - 2 49 B ( -2, 49 ) A 25 C( 0 , 25 ) X1 = 5 X2 = 5 2 9 D( 4 , 9 ) B * 5 E( 5 , 0 ) C X’ X Asignamos valores a x D Eje Real E Buscamos valores de y y = ( - 5 ) 2 - 10( -5 ) + 25 = 25 + 50 + 25 = 100 y = ( - 2 )2 - 10( -2 ) + 25 = 4 + 20 + 25 = 49 Parábola Tangente y = ( 0 )2 - 10( 0 ) + 25 = 25 y = ( 2 )2 - 10( 2 ) + 25 = 4 - 20 + 25 = 9 Escala 1: 25 Vertical Y’ y = ( 5 )2 - 10( 5 ) + 25 = 25 - 50 + 25 = 0

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 + 8x + 16 Y x y Puntos Cero de función Múltiple - 8 16 A( -8 , 16 ) E X1 = - 4 - 4 B ( -2, 0 ) 16 C( 0 , 16 ) X2 = - 4 2 36 D( 4 , 36 ) D * A 4 81 E( 5 , 81 ) C X’ X Asignamos valores a x B Eje Real Buscamos valores de y y = ( - 8 ) 2 + 8( -8 ) + 16 = 64 - 64 + 16 = 16 Parábola Tangente y = ( - 4 )2 + 8( -4 ) + 16 = 16 - 32 + 16 = 0 y = ( 0 )2 + 8( 0 ) + 16 = 16 Escala 1: 2 Horizontal Escala 1:16 Vertical y = ( 2 )2 + 8( 2 ) + 16 = 4 + 16 + 16 = 36 Y’ y = ( 5 )2 + 8( 5 ) + 16 = 25 + 40 + 16 = 81

GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 2x + 3 Y x y Puntos A Raíces imaginarias - 3 18 A( -3 , 18 ) - 2 11 B ( -2, 11 ) 3 C( 0 , 3 ) B 2 3 D( 2 , 3 ) E 3 6 E( 3 , 6 ) C Eje Real D X’ X Asignamos valores a x Buscamos valores de y y = ( - 3 ) 2 - 2( -3 ) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18 Parábola y = ( - 2 )2 - 2( -2 ) + 3 = 4 + 4 + 3 = 11 y = ( 0 )2 - 2( 0 ) + 3 = 3 Escala 1:3 Vertical y = ( 2 )2 - 2( 2 ) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 Y’ y = ( 3 )2 - 2( 3 ) + 3 = 9 - 6 + 3 = 6

* * GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA y = x2 - 3x Y x y Puntos Parábola Secante - 4 28 A ( -4 , 28 ) A - 3 18 B ( -3 , 18 ) X2 = 3 * C ( 0 , 0 ) * 3 D ( 2 , 0 ) B E 4 4 E ( 4 , 4 ) X’ X Asignamos valores a x D C Buscamos valores de y X1 = 0 y = (- 4 )2 – 3(-4) = 16 + 12 = 28 Grafica la función en tu cuaderno y = (-3 )2 - 3(-3) = 9 + 9 = 18 y = ( 0 )2 - 3( 0 ) = 0 Para comprobar resultados da un click en el botón izquierdo del mouse y = ( 3 )2 - 3( 3 ) = 9 - 9 = 0 Escala 1: 6 Vertical Y’ y = ( 4 )2 - 3( 4 ) = 16 - 12 = 4

CreO la GeometrIa AnalItica MENU RENE DESCARTE ( 1596 – 1650) CreO la GeometrIa AnalItica introdujo un sistema de coordenadas, llamadas Cartesianas.

RESOLUCION DE PROBLEMAS

RESOLUCION DE PROBLEMAS LECTURA CUIDADOSA HASTA ENTENDER LA SITUACION QUE SE PLANTEA IDENTIFICAR CANTIDADES CONOCIDAS DESCONOCIDAS OTRAS EN FUNCION DE ESTA LETRA UNA SE REPRESENTA POR “x” IDENTIFICAR IGUALDADES (CONSTRUIR LA ECUACION) ENCONTRAR LA SOLUCION

EJEMPLO 1 El producto de dos números es 91. ¿Cuáles son esos números, si sabemos que el mayor excede en 6 unidades al menor ? . Número menor : x x ( x + 6 ) = 91 Verificando operaciones Número mayor : x + 6 x2 + 6x = 91 Transponer e igualar a cero x2 + 6x – 91 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 6x - 91 = 0 Número menor : 7 ( x + 13 ) ( x - 7 ) = 0 Número mayor : 7 + 6 13 ( x + 13 ) = 0 x = - 13 ( x - 7 ) = 0 Los números son 7 y 13 * x = 7

EJEMPLO 2 El producto de dos números consecutivos pares es 48. Encontrar esos números. Primer número : x x ( x + 2 ) = 48 Verificando operaciones Segundo número : x + 2 x2 + 2x = 48 Transponer e igualar a cero x2 + 2x - 48 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 48 = 0 Primer número : 6 ( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0 Segundo número : 6 + 2 8 ( x + 8 ) = 0 x = - 8 ( x - 6 ) = 0 Los números son 6 y 8 * x = 6

EJEMPLO 3 La suma de los cuadrados de las edades de Margarita y Josefina es 100 años. Si Margarita es dos años mayor, ¿ cuáles son sus edades ? Josefina : x x2 + ( x + 2 )2 = 100 Verificando operaciones Margarita : x + 2 x2 + x2 + 4x + 4 = 100 Transponer e igualar a cero 2x2 + 4x + 4 = 100 Simplificando 2x2 + 4x - 96 = 0 x2 + 2x - 48 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 48 = 0 ( x + 8 ) ( x - 6 ) = 0 Josefina : 6 años ( x + 8 ) = 0 Margarita : 6 + 2 8 años x = - 8 ( x - 6 ) = 0 Margarita tiene 8 años y Josefina tiene 6 años * x = 6

EJEMPLO 4 El área de un rectángulo es 36 m2, su base excede a la altura en 5 m. Encontrar las dimensiones del rectángulo. Base : x + 5 x ( x + 5 ) = 36 Verificando operaciones Altura : x x2 + 5x = 36 Transponer e igualar a cero x2 + 5x - 36 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 5x - 36 = 0 ( x + 9 ) ( x - 4 ) = 0 Base: 4 + 5 9 metros ( x + 9 ) = 0 Altura : 4 metros x = - 9 ( x - 4 ) = 0 Dimensiones : 9 m de base y 4 m de altura * x = 4

EJEMPLO 5 La diferencia entre dos números es 2 y su producto 288. Encontrar los números. Número menor : x x ( x + 2 ) = 288 Verificando operaciones Número mayor : x + 2 x2 + 2x = 288 Transponer e igualar a cero x2 + 2x - 288 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 288 = 0 ( x + 18 ) ( x - 16 ) = 0 Número menor: 16 ( x + 18 ) = 0 Número mayor : 16 + 2 18 x = - 18 ( x - 16 ) = 0 16 y 18 son los números buscados * x = 16

EJEMPLO 6 El área de un triángulo rectángulo mide 84 m2. Encontrar las dimensiones de los catetos sabiendo que difieren entre sí 17 m . A = bh 2 x ( x + 17 ) = 84 2 Verificando operaciones x 84 m2 x2 + 17x = 168 Transponer e igualar a cero x + 17 x2 + 17x - 168 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 17x - 168 = 0 ( x + 24 ) ( x - 7 ) = 0 Altura: 7 m ( x + 24 ) = 0 Base : 7 + 17 24 m x = - 24 ( x - 7 ) = 0 Los catetos miden 7 m y 24 m * x = 7

EJEMPLO 7 Un número es el doble más uno con respecto a otro. La diferencia de sus cuadrados es 97. Encontrar esos números. Número menor : x (2 x + 1 )2 - x2 = 96 Verificando operaciones Número mayor : 2x+1 4x2 + 4x + 1 - x2 = 96 Transponer e igualar a cero 3x2 + 4x - 95 = 0 Resolvemos la ecuación 3x2 + 4x - 95 = 0 Número menor : 5 (3x2 + 19x) - ( 15x + 95) = 0 Número mayor : 10 + 1 11 x ( x + 19 ) - 5 (x + 19 ) = 0 ( x - 5 ) = 0 * x = 5 Los números son 5 y 11 ( x + 19 ) = 0 x = - 19

* La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 . EJEMPLO 8 La suma de dos números es 22 y su producto equivale a 117 . Primer numero : x x ( 22 - x ) = 117 Verificando operaciones Segundo número : 22 - x - x2 + 22x = 117 Transponer e igualar a cero - x2 + 22x - 117 = 0 Multiplicando por - 1 x2 - 22x + 117 = 0 Resolvemos la ecuación x2 - 22x + 117 = 0 Primer número: 9 ( x - 13 ) (x - 9 ) = 0 Segundo número : 22 - 9 13 ( x - 13 ) = 0 x = 13 Los números son 9 y 13 ( x - 9 ) = 0 x = 9 *

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse La diferencia de dos números es 2 y su suma multiplicada por el mayor equivale a 40. Encontrar esos números. Primer menor : x ( 2x + 2 ) ( x + 2 ) = 40 Verificando operaciones Segundo número : x + 2 2x2 + 6x + 4 = 40 Transponer e igualar a cero Suma 2x + 2 2x2 + 6x - 36 = 0 Simplificando x2 + 3x - 18 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 3x - 18 = 0 Primer número: 3 ( x + 6 ) (x - 3 ) = 0 Segundo número : 3 + 2 5 ( x + 6 ) = 0 x = - 6 Los números son 3 y 5 ( x - 3 ) = 0 x = 3 *

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse El producto de dos números enteros positivos es 143, si sabemos que el mayor excede en 2 unidades al menor, ¿cuáles son los números?. Número menor : x x ( x + 2 ) = 143 Verificando operaciones Número mayor : x + 2 x2 + 2x = 143 Transponer e igualar a cero x2 + 2x - 143 = 0 Resolvemos la ecuación x2 + 2x - 143 = 0 Número menor: 11 ( x + 13 ) (x - 11 ) = 0 Número mayor : 11 + 2 13 ( x + 13 ) = 0 x = - 13 Los números son 11 y 13 ( x - 11 ) = 0 x = 11 *

Resuelve los ejercicios en tu cuaderno . Para comprobar los resultado da un click en el botón izquierdo del mouse Un romboide presenta un área de 133 m2. Encontrar sus dimensiones, sabiendo que la base mide el doble más cinco con respecto a la altura Altura : x x ( 2x + 5 ) = 133 Verificando operaciones Base : 2x + 5 2x2 + 5x = 133 Transponer e igualar a cero 2x2 + 5x - 133 = 0 Resolvemos la ecuación 2x2 + 5x - 133 = 0 (2x2 + 19x) - (14x – 133) = 0 Altura: 7m 2x ( x + 19 ) – 14 (x+ 19 ) = 0 Base : 14 + 5 19m (2x - 14 ) (x+ 19 ) = 0 x = 7 * El romboide tiene como dimensiones: 19 m de base y 7 m de altura ( x + 19 ) = 0 x = - 19

RealizO el primer tratamiento analItico completo del Algebra, MENU LEONHARD EULER (1707 – 1783 ) RealizO el primer tratamiento analItico completo del Algebra, la teorIa de ecuaciones, la trigonometrIa y la geometrIa analItica.