DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA DÍA 58 * 1º BAD CT

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA Un grupo de diez amigos acostumbran a salir juntos frecuentemente. Pero cada vez que salen, el número de ellos es aleatoriamente distinto. Sea x el nº de personas que salen juntas. Sabemos que 2 ≤ x ≤ 10. X es una variable DISCRETA, o sea toma valores finitos ( enteros en este caso ) en [ 2 , 10 ] Sea f la frecuencia o cantidad de veces que hemos observado el mismo suceso Imaginemos que anotamos el número de ello cada vez que salen juntos, o sea repetimos la misma observación hasta un número muy grande de veces Según la ley del azar, en todo experimento aleatorio, las frecuencias relativas tienden a su probabilidad cuando el número de datos es suficientemente grande. Vemos que las frecuencias relativas se han convertido en las probabilidades. La variable estadística x toma el nombre de variable aleatoria en la distribución de probabilidades. La distribución de probabilidad es una idealización de la distribución de frecuencias.

Tabulación de resultados observados x 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 2 18 27 19 11 100 36 32 26 30 15 200 130 240 140 80 60 50 1000 fr 0,10 0,13 0,24 0,20 0,14 0,08 0,06 0,05 P(x) La frecuencia relativa (fr) es fr = f / Σ f , que es la probabilidad P(x) cuando Σ f es muy grande.

ESPERANZA MATEMÁTICA MEDIA EN UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETA. _ No difiere su cálculo de la media de una variable estadística, x . Se denota por la letra griega μ. Se llama valor esperado o ESPERANZA MATEMÁTICA, nombre preveniente de los juegos de azar, origen de la probabilidad. μ es la medida utilizada para medir la equidad de un juego. Si μ = 0 , no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca. Por cada 100 ptas jugadas: μ = 70 en la Lotería Nacional. μ = 55 en la Lotería Primitiva o en la Quiniela de fútbol. μ = Σ xi . pi En el ejemplo anterior: μ = 0’10. 3 + 0’13. 4 + 0’25. 5 + 0’20. 6 + 0’14. 7 + 0’08. 8 + 0’06. 9 + 0’05. 10 = 0,3 + 0,52 + 1,25 + 1,2 + 0,98 + 0,64 + 0,56 + 0,5 = 5,95  6 Lo que significa que el valor esperado en dicha observación es de 6 personas.

Desviación típica (σ) DESVIACIÓN TÍPICA en una Distribución de Probabilidad Discreta. No difiere ni su nomenclatura ni su cálculo de la desviación típica de una variable estadística. σ = √ Σ (xi - μ)2 . pi En el ejemplo anterior: σ = √ (3-5,95)2 . 0,10 + (4-5,95)2 . 0,13 + (5-5,95)2 . 0,25 + (6-5,95)2 . 0,20 + + (7-5,95)2 . 0,14 + (8-5,95)2 . 0,08 + (9-5,95)2 . 0,06 + (10-5,95)2 . 0,05 = = √ 0,9 + 0,52 + 0,25 + 0 + 0,14 + 0,32 + 0,54 + 0,9 = √ 3,57 = 1,89 COEFICIENTE DE VARIACIÓN en una Distribución de Probabilidad Discreta. Se emplea para comparar la variabilidad entre diferentes distribuciones. CV (x) = σ / μ En el ejemplo anterior: CV =1,89 / 5,95 = 0,31

Ejemplo 1 1 En urna hay 3 bolas blancas y 5 bolas negras. Si sacamos una bola negra pagamos a la banca 5 €, pero si es blanca ganamos 10 €. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. 2 xi pi xi – μ (xi – μ) .pi -5 5/8 = 0,625 -5,525 19,08 10 3/8 = 0,375 9,475 33,66 ∑= 52,74 μ = -5.0,625+10.0,375 = -3,125 + 3,75 = 0,525 Sí jugaría, pues tengo ventaja. s = √ 52,74 = 7,275 CV (x) = 7,275 / 0,525 = 14

Ejemplo 2 2.- Lanzamos dos monedas al aire. Apostamos 5 €. Si salen dos caras, volvemos a tirar; si salen dos cruces, nos llevamos 10 €; pero si sale una cara y una cruz perdemos lo apostado. ¿ Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. Xi pi - 5 2/4 = 0,5 0 1/4 = 0,25 10 1/4 = 0,25 μ = - 5. 0,5+ 0. 0,25 + 10. 0,25 = -2,5 +0 + 2,5 = 0 Al ser μ = 0 el juego es equitativo, no hay ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Ejemplo 3 3.- En una urna hay 2 bolas blancas y 5 bolas rojas. Extraemos una bola y la sustituimos por otra de distinto color. Luego extraemos otra bola. Si el resultado es BB, ganamos 50 €; si es BR, ni ganamos ni perdemos; si es RB perdemos 5 €; y si es RR perdemos 10 €. ¿Cuál es la esperanza matemática o valor esperado ?. P(BB) = 2 / 7 . 1/ 7 = 2 / 49 = 0,041 P(BR) = 2/ 7 . 6 /7 = 12 / 49 = 0,245 P(RB) = 5 / 7 . 3 / 7 = 15 / 49 = 0,306 P(RR) = 5 / 7 . 4 / 7 = 20 / 49 = 0,408 Xi pi 50 0,041 0 0,245 - 5 0,306 - 10 0,408 μ = 50. 0,041+ 0. 0,245 – 5 .0,306 – 10.0,408 = - 3,56 No jugaríamos, pues tenemos desventaja, no es equitativo.

Ejemplo 4 4.- Lanzamos dos dados en forma de tetraedro, uno con las caras numeradas del 0 al 3, y el otro con las caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la esperanza matemática o valor esperado de la función que asigna a cada valor de x la suma de resultados?. Xi fi pi xi.pi 0 1 0,05 0 1 2 0,10 0,10 2 3 0,15 0,30 3 4 0,20 0,60 4 4 0,20 0,80 5 3 0,15 0,75 6 2 0,10 0,60 7 1 0,05 0,35 20 3,50 X / Y 1 2 3 4 5 6 7 μ = ∑xi.pi = 3,5

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD Se llama función de probabilidad de una variable discreta X a la aplicación que a cada valor xi de la variable le hace corresponder la probabilidad de que la variable tome dicho valor. f(xi) = P(X=xi) En el ejemplo propuesto teníamos: 3 4 5 6 7 8 9 10 X P(X=xi) 0,05 0,24 0,14 0,10 0,20 FUNCIÓN DE PROBABILIDAD X 3 4 5 6 7 8 9 10 Xi P(xi) 0,10 0,13 0,24 0,20 0,14 0,08 0,06 0,05 f(xi)