UPC TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS UNIDAD 3 Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Laureate International Universities* TÓPICOS DE MÁTEMATICA 1 MA112 EPE-SISTEMAS UNIDAD 3 TEMA : ESPACIO Rn

Habilidades: 1. Explica el concepto de combinación lineal de vectores de Rn. 2. Define un conjunto LI y LD. 3. Define una base de Rn.

a V + a V +... + a V COMBINACION LINEAL Dados los vectores V , V , ... , V de R y sean a , a , ... , a escalares . La expresión n 1 2 n 1 n 2 a V + a V +... + a V 2 n 1 Se llama combinación lineal de V , V , ... … , V 1 2 n

EJEMPLOS: 1. Expresar el vector u =(- 3;4) como combinación lineal de los vectores a=(1;2) y b=(3;1). Solución: Se quiere que u = ma +n b es decir (-3;4) = m(1;2) +n (3;1) de donde: m=3 , n =-2 luego: (-3;4) = 3(1;2) - 2 (3;1)

x y b 3 a a u -2 b u = 3 a - 2 b NOTA: La combinación lineal de dos vectores a y b siempre va a estar en el plano formado por ellos y en consecuencia cualquier vector del plano puede obtenerse (generarse) como la combinación lineal de dos vectores no paralelos.

Ecuación de un plano z ax + by + cz = d y x La gráfica de toda ecuación de primer grado con tres incógnitas (ax+by+cz=d) en el sistema de coordenadas rectangulares XYZ es un plano y viceversa.

siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b INDEPENDENCIA LINEAL Antes de dar la definición, veamos los siguientes ejemplos geométricos. 1. Dados los vectores paralelos a y b a Se tiene : a = t b b Como a es una combinación lineal de b es decir a depende de b luego el conjunto { a , b} se dice que es LINEALMENTE DEPENDIENTE.

2. Dados dos vectores no paralelos a y b Como ninguno de ellos puede estar en términos del otro como combinación lineal, es decir, son independientes cada uno, se dice que el conjunto {a, b} es LINEALMENTE INDEPENDIENTE

3. Dados los vectores a , b y c Donde: c = 3 a + 2 b ó a = - 2/3b+1/3c ó b =- 3/2a+1/2c Como cualquiera de los vectores se puede expresar en términos del los otros como combinación lineal se dice que el conjunto {a, b, c} es LINEALMENTE DEPENDIENTE

¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c}? 4. Dado el conjunto de vectores {a, b, c} contenido en el plano P z b a c y P x ¿ Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c}?

¿Se podrá expresar el vector b en términos de a y c ? z 4. z c a y b P x ¿Es LI o LD el conjunto de vectores {a, b, c}?

INDEPENDENCIA LINEAL {v , v ,..., v } a v + a v +...+ a v = 0 : VECTORES DE R , El conjunto 1 2 k {v , v ,..., v } 1 2 k se llama LINEALMENTE INDEPENDIENTE si dada la ecuación 1 2 a = a = ... = a = 0 k a v + a v +...+ a v 1 2 k = 0 entonces y se llama LINEALMENTE DEPENDIENTE si en al menos a v + a v +...+ a v 1 2 k = 0 un a i no es cero.

1. Sea V = {v1 , v2 ,..., vk } un conjunto de vectores en Rn, donde k > n. Entonces V es linealmente dependiente. Nota :Un conjunto S de vectores linealmente independientes de Rn contine a lo mas n vectores. 2. Si k = n y det(v1,v2, ...vk ) = 0 { v1,v2, ...vk } es L.I. 3. 0 V Rn V es L.D.

Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk} BASE DE Rn Definición:Un conjunto {v1, v2 ,..., vk} de vectores de Rn se llama base de Rn, si cada elemento de Rn se puede expresar de manera única como combinación lineal de v1, v2 ,..., vk. PROPIEDAD: Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de Rn es una base de Rn.

Un conjunto finito de vectores TEOREMA Un conjunto finito de vectores {V1 ,V2 ,...,Vn} de Rn es una BASE de Rn si: 1. {V1 ,V2 ,…,Vn} es linealmente independiente. 2. {V1 ,V2 ,..,Vn} genera a Rn.

k=n (número de vectores igual al número de REQUISITOS PARA QUE EL CONJUNTO DE VECTORES { V , V ,...,V } SEA UNA BASE DE R k=n (número de vectores igual al número de componentes) 2. DET(A) = 0 , donde A= [ v1 , v2 ,.., vn] 1 2 k n Vectores columna