1JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ SOLUCIÓN: 27.-Definir el producto escalar de dos vectores y enunciar su relación con los conceptos de ángulo y distancia entre dos puntos. Junio 2001 Se llama producto escalar de dos vectores libres y, al número real obtenido multiplicando los módulos de ambos vectores por el coseno del ángulo que forman. El producto escalar de dos vectores se simboliza por · y viene dado por la expresión: donde es el ángulo que forman y Expresión analítica del producto escalar Sea B = (,, ), una base ortonormal y y dos vectores cualesquiera de coordenadas (x, y, z ) y (x', y', z' ) respectivamente. Como cada vector del espacio se descompone de modo único en función de los vectores de la base, se tiene:
2JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ Aplicando las propiedades del producto escalar se tiene: En la base ortonormal, los vectores son perpendiculares entre sí y de módulo unidad, entonces: Con lo que la expresión analítica del producto escalar quedará: Relación con la distancia Puesto que según la definición de producto escalar podemos decir que el módulo de un vector es la raíz cuadrada positiva del producto escalar del vector por sí mismo. Su expresión analítica en función de la base ortonormal, si las componentes de son (x, y, z ), será:
3JUAN LUIS CHAMIZO BLÁZQUEZ La distancia entre dos puntos coincide con el módulo del vector definido entre ellos. Si las coordenadas del punto A son ( x 1, y 1, z 1 ) y las del punto B = ( x 2, y 2, z 2 ), el vector tendrá de coordenadas (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1 ) por lo que la distancia del punto A al punto B será: Ángulo de dos vectores Ya hemos visto que ; por tanto: El coseno del ángulo formado por dos vectores, se obtiene al dividir su producto escalar entre el producto de sus módulos: Su expresión analítica en función de la base ortonormal, si las componentes de son (x, y, z ), y las de (x', y', z' ), será: