Actividad No. 3 °HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL °TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO °DEFINICION LA  INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA °SUMA DE RIEMANN °PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E °INDEFINIDA °TEOREMA DE EXISTENCIA °FUNCION PRIMITIVA °METODOS DE INTEGRACION

HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL

La integración se puede trazar en el pasado hasta el antiguo Egipto, circa 1800 a. C., con el papiro de Moscú, donde se demuestra que ya se conocía una fórmula para calcular el volumen de un tronco piramidal. La primera técnica sistemática documentada capaz de determinar integrales es el método de exhausción de Eudoxo (circa 370 a. C.), que trataba de encontrar áreas y volúmenes a base de partirlos en un número infinito de formas para las cuales se conocieran el área o el volumen. 

Este método fue desarrollado y usado más adelante por Arquímedes, que lo empleó para calcular áreas de parábolas y una aproximación al área del círculo. Métodos similares fueron desarrollados de forma independiente en China alrededor del siglo III por Liu Hui, que los usó para encontrar el área del círculo. Más tarde, Zu Chongzhi usó este método para encontrar el volumen de una esfera. En el Siddhanta Shiromani, un libro de astronomía del siglo XII del matemático indio Bhaskara II, se encuentran algunas ideas de cálculo integral.

Hasta el siglo XVI no empezaron a aparecer adelantos significativos sobre el método de exhausción. En esta época, por un lado, con el trabajo de Cavalieri con su método de los indivisibles y, por otro lado, con los trabajos de Fermat, se empezó a desarrollar los fundamentos del cálculo moderno. A comienzos del siglo XVII, se produjeron nuevos adelantos con las aportaciones de Barrow y Torricelli, que presentaron los primeros indicios de una conexión entre la integración y la derivación.

Newton y Leibniz Los principales adelantos en integración vinieron en el siglo XVII con el descubrimiento del teorema fundamental del cálculo, realizado de manera independiente por Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación.  La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Riemann, empleando límites.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.

El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.

DEFINICION LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA INTEGRAL INDEFINIDA: es la funcion F(x) de la cual proviene f(x). Se le conoce como antiderivada o funcion primitiva y se obtiene al aplicar la regla de derivacion al reves (al final se le agrega una constante C de integracion)

INTEGRAL DEFINIDA: La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b. La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se denota como:

SUMA DE RIEMANN

es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann. La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectángulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectángulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA 1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración. 2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b]. 4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

Propiedades de la integral indefinida 1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas funciones. 2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.

TEOREMA DE EXISTENCIA Es un teorema con un enunciado que comienza 'existe(n)...', o más generalmente 'para todo x, y, ...existe(n) ...'. Esto es, en términos más formales de lógica simbólica, es un teorema con un enunciado involucrando el cuantificador existencial. Muchos teoremas no lo hacen explícitamente, como es usual en el lenguaje matemático estándar, por ejemplo, el enunciado de que la función seno es una continua, o cualquier teorema escrito en la notación O.

FUNCION PRIMITIVA Función primitiva o antiderivada de una función dada f(x), es otra función F(x) cuya derivada es la función dada. Si una función f(x) tiene primitiva, tiene infinitas primitivas, diferenciándose todas ellas en una constante.

METODOS DE INTEGRACION Método de integración por sustitución El método de integración por sustitución o por cambio de variable se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo con una integral o anti derivada simple. 

Método de integración por partes s el que resulta de aplicar el siguiente teorema: Regla mnemotécnica: "Un Día Vi Una Vaca menos flaca(menos integral) Vestida De Uniforme". Eligiendo adecuadamente los valores de  y , puede simplificarse mucho la resolución de la integral.

Método de integración por cambio de variables El cambio de variables es uno de los métodos más usados en la integración. Permite expresar la integral inicial mediante un nuevo integrando y un nuevo dominio siendo la integral equivalente a la primera. Para integrales simples de una sola variable si  es la variable original y  es una función invertible, se tiene:

Referencias: http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo http://matematica.wikia.com/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lculo_integral http://www.hiru.com/matematicas/la-integral-definida http://es.wikipedia.org/wiki/Suma_de_Riemann http://www.vitutor.com/integrales/definidas/integral_definida.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_existencia http://www.ditutor.com/indefinidas/funcion_primitiva.html