LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL

LEY DE LA DOBLE NEGACIÓN Sea p una proposiciones simples o compuestas, entonces:

LEY DE LA IDEMPOTENCIA Sea p una proposiciones simples o compuestas, entonces:

LEY DE IDENTIDAD Sea p una proposiciones simples o compuestas, entonces:

LEY DE LA CONTRADICCIÓN Sea p una proposiciones simples o compuestas, entonces: Independiente del valor de verdad que tenga p, la proposición: (p   p) siempre es falsa. Ejemplos: (q   q) su valor de verdad es F (r   r) su valor de verdad es F (a  b)   (a  b) su valor de verdad es F

LEY DEL TERCER EXCLUIDO Sea p una proposiciones simples o compuestas, entonces: Independiente del valor de verdad que tenga p, la proposición: (p   p) siempre es verdadera. Ejemplos: (q   q) su valor de verdad es V (r   r) su valor de verdad es V (a  b)   (a  b) su valor de verdad es V

LEY DE D´MORGAN Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces: Ejercicio: Negar la proposición: “7 es un número primo y 30 es divisible por 5”. Solución: Cambiamos “y” por “o” y negamos las proposiciones simples que forman el enunciado, así: Respuesta: “7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5”.

LEY DE LA CONDICIONAL Si p, q son proposiciones simples o compuestas, entonces: Ejercicio: Aplique la ley condicional a las proposiciones siguientes: a. ( p  q)  r b. p  (  q   r) Solución: a.  (p  q )  r ]   ( p  q )  r b.  p  (  q   r ) ]   p  (  q   r )

LEY CONMUTATIVA Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas, entonces:

LEY ASOCIATIVA Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas, entonces:

LEY DISTRIBUTIVA Si p, q, r son proposiciones simples o compuestas, entonces:

APLICACIÓN DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL Demostrar que:  ( p  q )   p   q )] Solución: Aplicamos la ley de la condicional  ( p  q )   ( p )   q  2. Aplicamos ley de D´Morgan  ( p )   q    ( p)   ( q ) 3. Aplicamos Ley de la Doble Negación  ( p)   ( q )  p  ( q) Demostrado:  ( p  q )   p  (q)

APLICACIÓN DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL Demostrar que: ( p  q)  p es una tautología Solución: Aplicamos la ley de la condicional  ( p  q )  p 2. Aplicamos ley de D´Morgan ( p   q )  p 3. Aplicamos Ley asociativa ( p  p)   q 4. Aplicamos ley del Tercer excluido (V)   q 5. Aplicamos ley de la Identidad (V)

EJERCICIOS DE LAS LEYES DEL ALGEBRA PROPOSICIONAL 1.- Demostrar que la siguiente proposición es una tautología: [ ( p  q)  (  q)]  (  p) 2.- Demostrar que la siguiente proposición es una contradicción:  [  p  q )  (  p  q ) ]   [  (  p  q ) ]   (  p  q )

CUANTIFICADORES

CUANTIFICADORES Función Proposicional: Es todo enunciado abierto, que tiene la propiedad de convertirse en una proposición al ser sustituido la variable “x” por una constante específica. Se denota así: p(x) ; q(x) ; (se lee: p de x; q de x) Ejemplo: Sea : p(x): x+5=12 ; donde si reemplazamos x por 3 , la expresión es falsa; si reemplazamos x por 7, la expresión es verdadera. Esto escribimos así: P(3): 3+5=12 es falsa P(7): 7+5=12 es verdadera.

TIPOS DE CUANTIFICADORES Cuantificador Universal: Es toda función proposicional precedida por el Prefijo “Para Todo”. Se denotado por: Ejemplo: Se lee: “Para todo x perteneciente a los reales, x² es mayor o igual a cero”

TIPOS DE CUANTIFICADORES Cuantificador Existencial Es toda función proposicional precedida por el prefijo “Existe algún x”. Se denotado por: Ejemplo: Se lee: “Existe algún x perteneciente a los reales, 2x² menos 8 igual a cero”