MOVIMIENTO PERIÓDICO Sergio González Burgueño Irene González Iglesias Pablo González de la Peña Nuria Herrero Pastor

ÍNDICE Introducción. M.A.S. Energía del M.A.S. Aplicaciones del M.A.S. Péndulo simple. Péndulo Físico. Superposición del M.A.S. Resumen. Bibliografía.

INTRODUCCIÓN Movimiento periódico: se repiten a intervalos iguales de tiempo.  Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central, llamada posición de equilibrio.

PARÁMETROS DEL MOVIMIENTO VIBRATORIO: Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa. Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones f = 1/T completas efectuadas en la unidad de tiempo. Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio. Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación. Frecuencia angular(w): w = 2pƒ

M.A.S. ECUACIÓN GENERAL x = A cos(w t +j) x = A sin(w t +j) ωt + j :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN j : es la fase inicial (t = 0)

CINEMÁTICA DEL M.A.S. Si x = A sin ωt v= dx/dt = A ω cos ωt a= dv/dt= -A ω2 sin ωt

DINÁMICA DEL M.A.S. Para x>0, F =-kx Para x<0, F =kx *Fm = -k x -LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico. *Fm = -k x *La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación. Para x>0, F =-kx Para x<0, F =kx

Periodo de las oscilaciones: En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle: Fm = m a - k x = m a Tomando a= - w2 x ; tenemos que el periodo es: T = 2p m / k El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones.

ENERGIA ASOCIADA AL OSCILADOR ARMÓNICO 1. TRABAJO: W = |f| |Dr| cos j

2. ENERGIA CINETICA: Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento. Ec = 1/2 mv2 Ec = 1/2 k (A2 – x2 ) TEOREMA DE LA ENERGÍA CINÉTICA WT = DEc

3. FUERZAS CONSERVATIVAS: La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza un muelle no depende del camino seguido.

4. ENERGIA POTENCIAL: Epelástica = ½ K x2 Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema. En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía. Epelástica = ½ K x2

5. CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA MECÁNICA: El trabajo total realizado sobre una partícula se puede expresar como: WTOTAL = WC + WNC = DEc Teniendo en cuenta la relación entre el Wc y la DEp tenemos: WNC = DEc + DEp O lo que es lo mismo: WNC = DEm

En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl APLICACIONES DEL M.A.S. M.A.S. vertical Colgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el sistema alcanza el equilibrio. Fuerza recuperadora -> F=kl En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl k=mg/l -> f= 1/2 p k/m

M.A.S. angular t = -K Θ El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ) Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio. t = -K Θ M.A.S. angular El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ) La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por: Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecánico

PÉNDULO SIMPLE Constituido por una masa puntual suspendida de un punto fijo mediante un hilo inextensible cuya masa es despreciable.

ENERGÍA ASOCIADA AL PÉNDULO SIMPLE Por haber ganado altura, decimos que adquiere energía potencial gravitatoria. Es decir, en el centro no tiene energía potencial y en los extremos si. Podemos entonces, aplicar el principio de conservación de la energía y afirmar que la energía cinética del centro se ha transformado en potencial en los puntos de máxima amplitud.

ECUACIONES DEL PÉNDULO SIMPLE x = A cos (wt + φ) = A cos (2pƒt + φ) x = A sen(wt + β) = A sen (2pƒt + β) Periodo del péndulo: T = 2p L / |g|

PÉNDULO FÍSICO El péndulo físico oscila solamente por acción de su peso El período del péndulo físico para pequeñas amplitudes de oscilación: Al desplazarse el cuerpo, el peso (mg), causa un momento de torsión de restitución: t = - (mg) (d senq)

Si se suelta el cuerpo, oscila;  Para ángulos pequeños, el movimiento será armónico simple. (al aproximar senq con q). Entonces: t = - (mg d) q Frecuencia: Momento de inercia: Periodo:  Para amplitudes mayores, el movimiento es armónico, pero no simple.

= A1 sen (w1t + y1) + A2 sen (w2t + y2) SUPERPOSICIÓN DEL M.A.S. La superposición tiene lugar cuando dos fuerzas perturbadoras actúan simultáneamente siendo el movimiento resultante la suma de los distintos M.A.S. x1(t) = A1 sen (w1t + y1) x2(t) = A2 sen (w2t + y2) x(t) = x1(t)+ x2(t) = = A1 sen (w1t + y1) + A2 sen (w2t + y2)

En una dimensión: FRECUENCIAS IGUALES tgY = A1 sen Y1 + A2 sen Y2 Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde: A2 = A12 + A22 + 2A1 A2 cos|Y1 -Y2| tgY = A1 sen Y1 + A2 sen Y2 A1 cos Y1 + A2 cos Y2 Casos particulares: A) Y1 = Y2 -> interferencia constructiva B) Y1 = Y2 + p -> interferencia destructiva C) Y1 = Y2 + p/2 -> m.a.s. en cuadratura

x(t) = A cos w1- w2 t sen w1+ w2 t FRECUENCIAS DISTINTAS El movimiento resultante no es un M.A.S. La amplitud resultante será: A2 = A12 + A22 + 2A1 A2 cos (Y1 -Y2) PULSACIONES Es el resultado de la superposición de dos M.A.S. de frecuencias ligeramente diferentes. x(t) = A cos w1- w2 t sen w1+ w2 t 2 2

En dimensiones perpendiculares: FRECUENCIAS IGUALES x(t) = A sen (wt + a) y(t) = B sen (wt + b) Con d = a – b eliminamos t, y obtenemos:

x = A sen (wxt + a) y = B sen (wyt + b) FRECUENCIAS DISTINTAS x = A sen (wxt + a) y = B sen (wyt + b) La trayectoria no será una elipse, salvo que wx= wy En el caso general es una curva conocida como “curva de Lissajous”.

RESUMEN

BIBLIOGRAFÍA “Física” .- Paul A. Tipler - Ed.Reverté,sa. “Física Universitaria” (vol. 1) .- Sears, Zemansky, Young, Freedman - Pearson. “Física” (2º Bto.) .- J.L.Hernández Neira, M.Gisbert Briansó .- Bruño. “Física” (2º Bto.) .- Á.Peña, J.A.García .- Ed.McGraw-Hill.