Apuntes de Matemáticas 2º ESO SUCESOS TEMA 14.7 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Experimentos deterministas Hay muchos experimentos en los cuales, antes de que se produzcan, se puede predecir el resultado de los sucesos o fenómenos. Este tipo de experimentos se llaman deterministas pues su resultado está determinado con anterioridad a su realización. Ejemplos: 1.- Si se suelta una piedra desde una altura cualquiera siempre caerá hacia el suelo. 2.- Si se mezclan Cloro y Sodio siempre el resultado será la sal común. 3.- Si un alumno sabe 5 preguntas de 10 posibles y el profesor pone en un examen las diez, el alumno siempre aprobará. 4.- Si extraemos (aparentemente al azar) 31 cartas de las 40, de una baraja española, siempre habremos sacado algún oro. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Experimentos aleatorios EXPERIMENTOS ALEATORIOS O DE AZAR Hay experimentos que, al realizarse repetidamente en las mismas condiciones, no es posible predecir el resultado. Dependen del azar y se les llama sucesos o fenómenos aleatorios. El conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. Ejemplos: Lanzamiento de una moneda al aire. E={c, x} Lanzamiento de un dado al aire. E={1, 2, 3, 4, 5, 6} Extraer una carta de una baraja. E={AsB, 2B, 3B, …, RO} Extraer una bola en un sorteo de lotería. E={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Familias con dos hijos. E={VV,VM,MV,MM} @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Concepto de probabilidad INICIACIÓN AL CONCEPTO DE PROBABILIDAD La probabilidad estudia los experimentos aleatorios o de azar. El cálculo de probabilidades trata de medir, cada vez con mayor grado de certeza, hasta que punto puede suceder un fenómeno. Las expresiones “seguro, casi seguro, posible, bastante posible, casi imposible o imposible”, al referirnos a que se pueda realizar un suceso toman un carácter numérico, matemático, gracias a lo cual podemos “predecir” el resultado. Ejemplos: 1.- Una compañía de seguros puede predecir el número de accidentes que tendrá el próximo año y así ajustar el precio de cada seguro. 2.- Una fabrica puede predecir el número de coches que va a vender el próximo año, y así evitar un stock innecesario y ajustar el precio final. 3.- Un partido político puede predecir matemáticamente el número de votos que va a obtener y así ajustar los gastos de su campaña electoral. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO TIPOS DE SUCESOS Suceso ELEMENTAL Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. Ejemplo Al lanzar un dado: Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, y {6} Suceso COMPUESTO Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. Al lanzar un dado dos veces: Sucesos compuestos: {1,1}, {1,2}, {1,3}, …., {6,5}, y {6,6} Suceso SEGURO Es el que está formado por todos los resultados posibles. Sea A={1, 2, 3, 4, 5, 6} @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Suceso IMPOSIBLE Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. Ejemplo Al lanzar un dado: Sea el suceso A={7} Sucesos IGUALES Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. Al lanzar dos dados iguales, cuando el resultado es el mismo. No puede hablarse de sucesos iguales cuando los resultados sean iguales pero un dado sea exagonal y otro tetraédrico, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E’ = {1, 2, 3, 4} Suceso CONTRARIO Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. Se expresa de este modo: Ā Al lanzar un dado que el resultado NO sea un número primo. Sea A={1, 2, 3, 5} y por tanto Ā = {4, 6} @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Sucesos COMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. Ejemplo_1 Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” y sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par”. Ejemplo_2 Sea A el suceso “Al extraer una carta sea una copa” y sea B el suceso “Al extraer una carta sea un rey”. Sucesos INCOMPATIBLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” y sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Frecuencias Experimento 1: Lanzamos una moneda al aire 100 veces. La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite dicho suceso: f(Cara)=f(C)= 65 f(Cruz)=f(X)= 35 La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento: h(Cara)=h(C)= f(C)/N =65/100 = 0,65 h(Cruz)=h(X)= f(X)/N = 35/100 =0,35 Es muy conveniente expresar la frecuencia relativa en forma decimal. vi fi hi Cara 65 65/100 0,65 Cruz 35 35/100 0,35 100 100/100 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Frecuencias Experimento 2: Continuamos tirando una moneda al aire hasta 1000 veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener cara” y “Obtener cruz” resultan: f(Cara)=f(C)= 475 f(Cruz)=f(X)= 525 Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: h(Cara)=h(C)= f(C)/N = 475/1000 = = 0,475 h(Cruz)=h(X)= f(X)/N =525/1000 = = 0,525 Observar que las frecuencias relativas tienden a igualarse. vi fi hi Cara 475 ------ 1000 0,475 Cruz 525 0,525 ------- 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Frecuencias Experimento 3: Continuamos tirando una moneda al aire hasta un millón de veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener cara” y “Obtener cruz” resultan: f(Cara)=f(C)=498 321 f(Cruz)=f(X)= 501 679 Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: h(Cara)=h(C)= 0,498321 h(Cruz)=h(X)= 0,501679 Observar que las frecuencias relativas son casi iguales. vi fi hi Cara 498 321 0,498321 Cruz 501 679 0,501679 1 000 000 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ley del azar La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. Ese número recibe el nombre de probabilidad de dicho suceso. Y se denota por p(A) En el ejemplo de la moneda: p(Cara)=p(C )=0,5 = 1 / 2 p(Cruz)=p(X )=0,5 = 1 / 2 En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta, si repetimos un número de veces muy elevado, el número de caras y el de cruces resultará prácticamente el mismo. La probabilidad de un suceso, p(A), es siempre un número comprendido entre 0 y 1. La probabilidad del suceso seguro es siempre 1. La probabilidad del suceso imposible es siempre 0. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Frecuencias Experimento 4: Lanzamos un dado al aire 100 veces. La frecuencia absoluta es el número de veces que se repite dicho suceso: f(5)= 23 f(6)= 12 La frecuencia relativa es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de veces que se repite el experimento: h(5)= f(5)/N =23/100 = 0,23 h(6)= f(6)/N = 12/100 =0,12 Observar que las frecuencias del “5” son casi el doble que del “6”. xi fi hi 1 5 5/100 0,05 2 10 10/100 0,10 3 35 35/100 0,35 4 15 15/100 0,15 20 23/100 0,23 6 12/100 0,12 100 100/100 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Frecuencias Experimento 5: Seguimos lanzando el mismo dado hasta 1000 veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener un 5” y “Obtener un 6” resultan: f(5)= 103 f(6)= 120 Las frecuencias relativas valdrán: h(5)= f(5)/N = 103/1000 = 0,103 h(6)= f(6)/N = 120/1000 = 0,120 Observar que las frecuencias del “5” son ahora mayores que las del “6”. xi fi hi 1 147 0,147 2 130 0,130 3 350 0,350 4 150 0,150 5 103 0,103 6 120 0,120 1000 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Frecuencias Experimento 6: Continuamos tirando un dado al aire hasta un millón de veces. Las frecuencias absolutas de los sucesos “Obtener 5” y “Obtener 6” resultan: f(5) = 168 498 f(6) = 165 679 Las frecuencias relativas de ambos sucesos son: h(5) = 0,168498 h(6) = 0,165679 Observar que las frecuencias relativas son casi iguales. xi fi hi 1 171 638 0,171638 2 166 679 0,166679 3 167 501 0,167501 4 160 005 0,160005 5 168 498 0,168498 6 165 679 0,165679 1 000 000 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO

Apuntes de Matemáticas 2º ESO Ley del azar La Ley de los grandes números o Ley del azar dice: La frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en un número cuando el número de repeticiones es suficientemente grande. Ese número recibe el nombre de probabilidad de dicho suceso. Y se denota por p(A) En el ejemplo del dado: p(1) = 0,166666 = 1 / 6 p(2) = 0,166666 = 1 / 6 p(3) = 0,166666 = 1 / 6 p(4) = 0,166666 = 1 / 6 p(5) = 0,166666 = 1 / 6 p(6) = 0,166666 = 1 / 6 En otras palabras: Aunque no sepamos el resultado de una tirada concreta, si repetimos un número de veces muy elevado, el número de unos, doses, treses, cuatros, cincos y seises resultará prácticamente el mismo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO