Tema 11 LA HIPÉRBOLA V y V’: Vértices LL’: Lado recto c : centro PRIMERA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA LL’: Lado recto c : centro punto conjugada centro (h,k) Tema 11 LA HIPÉRBOLA DD’: Diámetro plano V y V’: Vértices punto F y F’: Focos lado recto BB’ y HH’: Cuerda Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 CENTRO HIPÉRBOLA HipérbolasConjugadas excentricidad Ecuación asíntotas VV’: Eje transverso Hipérbola Equilátera EE’: Cuerda focal AA’: Eje Conjugado Cónica plano Lugar Geométrico

dPFy dPF’son Radios Vectores F y F’: Focos V y V’: Vértices HIPÉRBOLA DEFINICIÓN: Un hipérbola es el Lugar Geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados Focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. Los Focos y el Pto medio entre ellos no pertenecen al Lugar Geométrico. H l’ B A P H’ L E . D Lado Recto F’ Eje Focal F V’ c V l D’ A L’ E’ B’ dPFy dPF’son Radios Vectores F y F’: Focos V y V’: Vértices c : centro VV’: Eje transverso AA’: Eje Conjugado BB’ y HH’: Cuerda EE’: Cuerda focal DD’: Diámetro LL’: Lado recto

PRIMERA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Un hipérbola es el Lugar Geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados Focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos. PRIMERA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA l’ P(x,y) F’(c,0) V’ V F(c,0) -x c l donde a = cte positiva  2a < 2c (1) (2) Aplicando el teorema de Pitágoras (Δ PFx y ΔPF’x) (3) Sustituyendo (2) y (3) en (1) Resolviendo y elevando al cuadrado Resolviendo y reduciendo términos semejantes

PRIMERA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA P(x,y) F’(c,0) V’ V F(c,0) -x c l elevando ambos miembros al cuadrado resolviendo factorizando (4) Como c > a, entonces c2 – a2 > 0, luego b2 = c2 – a2 (5) sustituyendo (5) en (4) Dividiendo entre b2a2

PRIMERA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Eje focal en el eje X l’ P(x,y) A b F’(c,0) V’ V F(c,0) -x a c a l A’ b Donde: a = distancia del centro a los vértices V y V’ b = distancia entre el centro los puntos A y A’

PRIMERA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA Eje focal en el eje Y l Donde: a = distancia del centro a los vértices V y V’ b = distancia entre el centro los puntos A y A’ F’(c,0) P(x,y) V   a b c b l’ A’ A a V’ F(c,0)

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA y l’ A(0,b) V’(-a,0) V(a,0) l A’(0,-b) Cortes con los ejes Cuando y=0 , las intersecciones con x son a y –a Por tanto, V(a,0) y V’(-a,0) Eje transverso = 2a Cuando x=0 , las intersecciones con y son b y -b Por tanto, A(0,b) y A’(0,-b) Eje Conjugado = 2b Lado Recto Excentricidad

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA y l’ A(0,b) V’(-a,0) V(a,0) l A’(0,-b) Para conocer el rango de la función, se despeja y de la ecuación, así: quedando: , en donde

ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA y l’ A(0,b) V’(-a,0) V(a,0) l A’(0,-b) Factorizando queda, -∞ -a a ∞+ x-a - + x+a Según esto, ninguna porción del lugar geométrico aparece comprendida entre las rectas x = -a y x =a Respuesta: (-∞,-a)  (a, ∞+) Los valores de a, varían entre

-∞ < y <∞  y   (Reales) ESTUDIO DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA y l’ A(0,b) V’(-a,0) V(a,0) l A’(0,-b) Despejando x de la ecuación, queda: -∞ < y <∞  y   (Reales) NOTA: la posición de la hipérbola con respecto a los ejes coordenados la da el signo de la variable. La variable positiva (+) corresponde al eje Transverso La variable negativa (-) corresponde al eje Conjugado

ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA Teorema: la hipérbola, tiene por asíntotas las rectas: bx – ay = 0 y bx + ay = 0. l’ A(0,b) V’(-a,0) V(a,0) l A’(0,-b) Las asíntotas de la hipérbola se obtienen, transformando la ecuación a la forma lineal y sustituyendo el termino independiente por 0, luego se factoriza el primer miembro.

x –y = 0 y x + y = 0. HIPÉRBOLA EQUILÁTERA O RECTÁNGULAR a a a a Hipérbola Equilátera o rectángular: Es aquella cuyos ejes transverso y conjungado son iguales. Entonces a = b y la ecuación es: l’ A a a a l V’ V a A’ Sus asíntotas son las rectas x –y = 0 y x + y = 0.

Hipérbolas Conjugadas: dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de una es idéntico al eje transverso de la otra. Si la ecuación de una hipérbola es: l’ A(0,b) a V’(-a,0) b V(a,0) b l a l A’(0,-b) La ecuación de su conjugada es: V(a,0)   b a A(b,0) a A’(-b,0) b l’ V’(-a,0)

SEGUNDA ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA TEOREMA: La ecuación de una HIPERBOLA de centro el punto (h,k) y eje focal paralelo al eje X, es de la forma: Si el eje focal es paralelo al eje Y, su ecuación: Para cada hipérbola, a es la longitud del semieje transverso, b la del semieje conjugado, c la distancia del centro a cada uno de los focos, y a, b, c están ligadas por la relación: c2 = a2 + b2 También, para cada hipérbola, la longitud de cada lado recto es y la excentricidad e está dada por la relación TEOREMA: Si los coeficientes A y C difieren en signo, la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Representa una hipérbola de ejes paralelos a los coordenados, o un par de rectas que se cortan.